Arithmetic Slices 等差数列划分

本文介绍了一种高效算法,用于计算给定数组中所有连续等差子数组的数量。通过维护一个动态数组来记录每一步可能形成的等差序列数量,最终得出整个数组中等差子数组的总数。

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如果一个数列至少有三个元素,并且任意两个相邻元素之差相同,则称该数列为等差数列。

例如,以下数列为等差数列:

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9

以下数列不是等差数列。

1, 1, 2, 5, 7

数组 A 包含 N 个数,且索引从0开始。数组 A 的一个子数组划分为数组 (P, Q),P 与 Q 是整数且满足 0<=P<Q<N 。

如果满足以下条件,则称子数组(P, Q)为等差数组:

元素 A[P], A[p + 1], ..., A[Q - 1], A[Q] 是等差的。并且 P + 1 < Q 。

函数要返回数组 A 中所有为等差数组的子数组个数。

示例:

A = [1, 2, 3, 4]

返回: 3, A 中有三个子等差数组: [1, 2, 3], [2, 3, 4] 以及自身 [1, 2, 3, 4]。

思路:这道题简化了难度,不考虑跳变的情况,即如果输入[1,2,3,4,5],那么[1,3,5]这种情况是不计入在内的,既然是连续的序列才算,那么难度就小很多了,我们维护一个一维数组dp,其中dp[i]表示到A的下标为止,一定考虑第i位元素有几种情况。如下如图所示举例,输入[1,2,3,4,5]:

对于下标0,dp[0]=0

对于下标1,dp[1]=0

对于下标2,满足A[2]-A[1]==A[1]-A[0],dp[2]=1

对于下标3,满足A[3]-A[2]==A[2]-A[1],dp[3]=dp[2]+1=2(直观理解是一定要考虑进当前下标的元素A[3]所能够成的序列,那么相当于前面所有的情况加一个A[3]的元素(即+1),前面的情况是[1,2,3],加一个A[3]变成[1,2,3,4](这种情况相当于数量没有变化),另外+1的情况是[2,3]加一个4组成[2,3,4]的情况,这种之前没有出现过,并且也只会出现这种情况,所以递推公式是dp[i]=dp[i-1]+1)

对于下标4,满足A[4]-A[3]==A[3]-A[2],dp[4]=dp[3]+1=3

所以答案就是把dp[0,4]的所有情况累加起来即可。

参考代码:

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {
	int *dp = new int[A.size()];
	int res = 0;
	for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
		dp[i] = 0;
	}
	for (int i = 2; i < A.size(); i++) {
		if (A[i] - A[i - 1] == A[i - 1] - A[i - 2]) {
			dp[i] = dp[i - 1] + 1;
		}
		res += dp[i];
	}
	delete[] dp;
	return res;        
    }
};



### 等差数列求和的实现方法 等差数列是一种特殊的数列,其中每一项与其前一项之间的一个固定值(为公)。其求和公式为: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] 其中: - \( S_n \) 表示前 \( n \) 项的和, - \( a_1 \) 是首项, - \( a_n \) 是第 \( n \) 项。 下面分别展示 **C++** 和 **Python** 的实现方式。 --- #### C++ 实现 以下代码实现了通过输入首项、尾项和公来计算等差数列的总和。它还验证了序列的有效性,并确保输入满足等差数列的要求。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { double a1, an, q; cout << "请输入等差数列首项(a1): "; cin >> a1; cout << "请输入等差数列尾项(an): "; cin >> an; cout << "请输入等差数列(q): "; cin >> q; if (q == 0 && a1 != an) { // 验证是否合法 cout << "错误:当公为零时,首项必须等于尾项!" << endl; return 1; } int n = static_cast<int>((an - a1) / q + 1); // 计算项数 if (n <= 0) { cout << "错误:无法构成有效的等差数列!" << endl; return 1; } double Sn = (a1 + an) * n / 2; // 求和公式 cout << fixed << setprecision(3); cout << "等差数列的前 " << n << " 项和为:" << Sn << endl; return 0; } ``` 这段代码包含了基本的输入校验机制,能够处理一些常见的非法输入情况[^1]。 --- #### Python 实现 Python 提供了一种简洁的方式来实现相同的逻辑。以下是基于用户输入的动态实现: ```python def calculate_arithmetic_sum(): try: # 获取用户输入 a1 = float(input("请输入等差数列首项(a1): ")) d = float(input("请输入等差数列(d): ")) n = int(input("请输入要求的前几项(n): ")) if n <= 0: print("错误:项数必须大于零!") return None # 计算最后一项 an = a1 + (n - 1) * d # 使用求和公式 Sn = n * (a1 + an) / 2 # 输出结果 print(f"等差数列的前 {n} 项和为:{Sn:.3f}") except ValueError: print("输入有误,请确保输入的是数字!") calculate_arithmetic_sum() ``` 此代码不仅涵盖了常规的情况,还包括异常处理部分以增强程序健壮性[^2]。 --- #### 更加通用的方法 如果仅知道首项和尾项而不知道具体的项数或公,还可以通过列表推导的方式生成整个数列并求和。这种方法适用于不需要显式指定公的情况下: ```python first_number = int(input('请输入首项: ')) last_number = int(input('请输入尾项: ')) # 构造等差数列 sequence = list(range(first_number, last_number + 1)) outcome = sum(sequence) print(f"等差数列的和为:{outcome}") ``` 这种方式简单直观,适合初学者理解和实践[^3]。 --- ### 总结 无论是使用高级语言还是低级语言,核心思想都是围绕着等差数列的基本性质展开。不同的实现路径可以根据实际需求灵活选择。
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