LeetCode——446. 等差数列划分 II - 子序列(Arithmetic Slices II - Subsequence)[困难]——分析及代码（Java）

一、题目

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

• 例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
• 再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

• 例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]

示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• -2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1

来源：力扣（LeetCode）
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二、分析及代码

1. 动态规划 + 哈希表

（1）思路

设计一个二维数组 dp，其中 dp[i][d] 表示当前以 nums[i] 为尾项，公差为 d，且长度不小于 2 的子序列数量。

在遍历 nums[i] 时，二重循环遍历 [0, i) 范围内 j 对应的 nums[j]，记 nums[i] 和 nums[j] 的差值为 d，则 nums[i] 可与 dp[j][d] 所对应的序列构成等差子序列。

同时，在 dp[i][d] 中添加以 nums[j] 为倒数第二项，nums[i] 为尾项，公差为 d 的长度不小于 2 的子序列数量。

因为本题中公差 d 的取值范围较大，可用哈希表替代 dp 中第二维的数组。

此外，由于 nums[i] 的取值范围为 int，且等差子序列长度至少为 3，因此有效的公差 d 一定在 int 范围内。

（2）代码

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