埃及分数问题(迭代加深搜索)

最新推荐文章于 2022-12-31 23:45:00 发布

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本文介绍了一种利用迭代加深搜索算法解决古埃及分数表示问题的方法。针对任意有理数a/b，通过寻找最优单位分数组合进行表示，目标是最小化分数数量并最大化最小分数值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

埃及分数问题，在古埃及人们使用单位分数的和来表示一切有理数。例如2/3 = 1/2 + 1/6，但不允许使用2/3=1/3+1/3，因为在加法数中不允许重复。

对于一个分数a/b,表示方法有多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。

解决方案是采用迭代加深搜索:从小到大枚举上限maxed.每次执行只考虑深度不超过maxed的点。这样只要解的深度有限就可以在有限时间内枚举到.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

int ans[105],  vis[105], maxed;
ll gcd(ll a, ll b){
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll get_first(ll a, ll b){
	ll c = b / a;
	if(b % a)
	 c++;
	return c;
}
bool better(int d){
	for(int i = d; i >= 1; i--){
		if(vis[i] != ans[i]){
			return ans[i] == 0 || vis[i] < ans[i];
		}
	}
	return false;
}
bool dfs(int d, int from, ll a, ll b){
	if(d == maxed){
		if(b % a)
		  return false;
		vis[d] = b / a;
		if(better(d)){
			memcpy(ans, vis, sizeof(vis));
		}
		return true;
	}
	bool ok = false;
	from = max((ll)from, get_first(a, b));
	for(int i = from;; i++){
		if(b * (maxed - d + 1) <= i * a)
		  break;
		vis[d] = i;
		ll b2 = b * i;
		ll a2 = a * i - b;
		ll k = gcd(a2, b2);
		if(dfs(d+1, i+1, a2/k, b2/k))
			ok = true;
	}
	return ok;
}
int main(){
	
//	freopen("in.txt", "r", stdin);
	ll a, b;

	scanf("%I64d%I64d", &a, &b);
	for(maxed = 1;; maxed++){
		if(dfs(1, get_first(a, b), a, b)){
			break;
		}
	}
	printf("%I64d/%I64d = 1/%d", a, b, ans[1]);
	for(int i = 2; i <= maxed; i++)
	  printf("+ 1/%d", ans[i]);
	return 0;
}