埃及分数(迭代加深搜)


迭代加深搜索,实质上是限定下界的深度优先搜索。即首先允许深度优先搜索K层,若没有发现可行解,再将K+1后

重复以上步骤搜索,直到搜索到可行解。


在迭代加深搜索的算法中,连续的深度优先搜索被引入,每一个深度约束逐次加1,直到搜索到目标为止。这样可以

看出重复搜索了好多。但是它的好处在于:

1.空间开销小   每个深度下实际上是一个深度优先搜索,不过深度有限制,而DFS的空间消耗小是众所周知的。

2.利于深度剪枝

3.时间效率不低 虽然重复搜索,但是大家不难理解,前一次搜索跟后一次相不是微不足到的。


我们可以看出,迭代加深搜索算法就是仿广度优先搜索的深度优先搜索。既能满足深度优先搜索的线性存储要求,又能保证发现一个最小深度的目标结点。


从实际应用来看,迭代加深搜索的效果比较好,并不比广度优先搜索慢很多,但是空间复杂度却与深度优先搜索相
同,比广度优先搜索小很多。


使用搜索算法的时候,选择正确的搜索方式很重要。当有一类问题需要做广度优先搜索,但却没有足够的空间,而时
间却很充裕,碰到这类问题,我们可以选择迭代加深搜索算法。

埃及分数:

  给你个真分数,你需要将其化简为最少的若干特殊真分数之和,你要输出这个序列(序列按递增序)。如果有不同的方案,则分数个数相同的情况下使最大的分母最小。若还相同,则使次大的分母最大……以此类推。如:2/3=1/2+1/6,但不允许2/3=1/3+1/3,因为加数中有相同的。对于一个分数a/b,表示方法有很多种,但是哪种最好呢? 首先,加数少的比加数多的好,其次,加数个数相同的,最小的分数越大越好。

题目分析:

   对于任意给定的a,b,1/k<=a/b<=1/p成立(这比较抽象,不过幸好这不是重点),也就是说,为了使程序具有更高的剪枝效率,我们需要找到所谓的上界与下界。

对于上界的寻找,我们可以极端化考虑。对于任意满足条件的a,b,都有a/b<INF/b,所以我们规定上界为INF/b,这个想法很单纯,切勿多想。

对于下界的寻找:a/b=1/(b/a),所以如果规定int t=b/a,那么t<=b/a恒成立,所以可以说1/t>=1/(b/a)恒成立。又在递归迭代搜索中,dep表示当前搜索限制深度,k表示当前搜索深度,则当前分数就一定是由(dep-k+1)个特殊真分数的和,每个真分数最大就是1/[(b/a)*(dep-k+1)],所以对原式进行放缩,有:

a/b=1/(b/a)=(dep-k+1)*1/[(b/a)*(dep-k+1)]<=1/t,即a/b>=t,故可知,t为理论下界。


#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define LL __int64;
const int INF = ~0U>>1;
//无穷大的表示法(~0U的意思是先把0强制转化为unsigned类型,再各位取反),这样得到的就是最大值。
const int N = 1000;    //最大所需深度
int dep,flag;   //当前深度限制变量 和 成功标记变量
int ans[N],d[N];   //ans为结果数组,d为深度结果数组
//最大公约数算法
int gcd(int a,int b) {return b ?gcd(b,a%b):a;}
//DFS基本主模块
void dfs(int a,int b,int k){   //k为当前深度
    if(k == dep + 1) return;   //深度优先出口
    if(b % a == 0&& b / a > d[k-1]){ //这种情况是找到了解的情况,其实就是a==1的情况,这种情况肯定有解。
        d[k] = b / a;
        if(!flag || d[k] < ans[k])
            memcpy(ans,d,sizeof(d));
       flag = 1;
       return;
    }
    int s = b / a;   //分母的理论下界寻找
    if(s <= d[k-1]) s = d[k-1] + 1;  //确保下界是正确的
    int t = (dep - k + 1) *  b /a;   //分母的理论上界寻找
    if(t > INF / b) t = INF / b;   //确保上界是正确的
    if(flag && t >= ans[dep]) t = ans[dep] - 1;  //如果上界超过前层递归的范围就把上界进行缩短
    for(int i=s;i<=t;i++){
        d[k] = i;   //表示k这一层目前所到的最大深度
        int m = gcd(i*a - b,b*i);   //最大公约数
        dfs((i*a-b)/m,b*i/m,k+1);    //继续DFS
    }
}

void Work(int a,int b)
{
    d[0] = 1;   //d[0]初始化
    flag = 0;   //默认找不到解
    for(dep=1;dep <= N;dep++){   //深度加深
       dfs(a,b,1);  //进行迭代递归搜索
       if(flag){   //如果找到解的话
            printf("1/%d",ans[1]);  //输出解
            for(int i=2;i<=dep;i++)
            printf("+1/%d",ans[i]);
           cout<<endl;
           break;  //不继续进行加深搜索
       }
    }
}

int main()
{
   int a,b;
   while(cin>>a>>b){
       cout<<a<<"/"<<b<<"=";
       Work(a,b);
    }
    return 0;
}</span>


转载出处:http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/18226915

转载出处:http://m.blog.youkuaiyun.com/blog/u012905448/39162723


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