面试高频必问-图

转载 于 2021-06-17 14:33:33 发布 · 205 阅读 · 0 ·
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原文链接：https://kaisarh.blog.youkuaiyun.com/article/details/108967806
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#算法 #数据结构 #java #dfs

本文介绍了图数据结构的基本概念，包括图的定义、常见类型和术语。详细讲解了图的两种表示方法：邻接矩阵和邻接表，并通过代码实现了图的深度优先遍历和广度优先遍历。

图

1、图基本介绍

1.1、为什么要有图

  1. 前面我们学了线性表和树
  2. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
  3. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
  4. 当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图。

1.2、图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：
在这里插入图片描述

1.3、图的常用概念

  1. 顶点(vertex)
  2. 边(edge)
  3. 路径
  4. 无向图(右图
    在这里插入图片描述
  5. 有向图
  6. 带权图
    在这里插入图片描述

2、图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

2.1、邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。
在这里插入图片描述

2.2、邻接表

  1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
  2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
  3. 举例说明
    在这里插入图片描述

3、图的快速入门案例

  1. 要求:代码实现如下图结构
    在这里插入图片描述
  2. 思路分析
    (1)存储顶点String使用ArrayList
    (2)保存矩阵int[][]edges
  3. 代码实现
    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加边
     *
     * @param v1     表示点的下标即使第几个顶点"A"-"B""A"->0"B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示值
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }

4、图的深度优先遍历介绍

4.1、图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:
(1)深度优先遍历
(2)广度优先遍历

4.2、深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(DepthFirstSearch)

  1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
  2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
  3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

4.3、深度优先遍历算法步骤

  1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
  2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
  3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
  4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
  5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
  6. 分析图
    在这里插入图片描述

4.4、深度优先算法的代码实现


    //深度优先遍历算法
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找结点i的第一个邻接结点 w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {
            if (!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //对dfs进行一个重载,遍历我们所有的结点，并进行dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

5、图的广度优先遍历

5.1、广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(BroadFirstSearch)
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

5.2、广度优先遍历算法步骤

  1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
  2. 结点v入队列
  3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
  4. 出队列，取得队头结点u。
  5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
  6. 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
    6.1若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
    6.2结点w入队列
    6.3查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

5.3、广度优先算法的图示

在这里插入图片描述

5.4、广度优先算法的代码实现

   //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u;//表示队列的头结点对应下标
        int w;//邻接结点w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);
        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (int) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w);//体现出我们的广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

6、图的代码汇总

package com.xu.graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {
    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图对应的邻结矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的数目
    //定义给数组boolean[],记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;//结点的个数
        String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
//        String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环的添加顶点
        for (String vertex : Vertexs) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }
        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        //显示一把邻结矩阵
        graph.showGraph();

        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs();//A->B->C->D->E[1->2->4->8->5->3->6->7]
        System.out.println();
        System.out.println("广度优先!");
        graph.bfs();//A->B->C->D-E[1->2->3->4->5->6->7->8]
    }

    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    /**
     * 得到第一个邻接结点的下标 w
     *
     * @param index
     * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
     *
     * @param v1
     * @param v2
     * @return
     */
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找结点i的第一个邻接结点 w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {
            if (!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //对dfs进行一个重载,遍历我们所有的结点，并进行dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u;//表示队列的头结点对应下标
        int w;//邻接结点w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);
        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (int) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w);//体现出我们的广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i(下标)对应的数据0->"A"1->"B"2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加边
     *
     * @param v1     表示点的下标即使第几个顶点"A"-"B""A"->0"B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示值
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}
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