基本求导公式，泰勒公式及麦克劳林展开

最新推荐文章于 2025-07-09 17:34:59 发布
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博客主要提及了基本求导公式和泰勒公式，这两者在信息技术领域的算法、数据分析等方面有重要应用。

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基本求导公式：

泰勒公式：

 

AI笔记: 数学基础之导数的应用：泰勒Taylor公式
Wang的专栏
07-04 1091
Taylor公式的应用 机器学习中广泛应用，数学建模，线性回归，预测等领域 关于Taylor公式 Taylor公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式，如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下 Taylor公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这一点的邻域中的值 若函数f(x)在包含x0x_0x0​的某个闭区间[a,b]上具有n阶函数, 且在开区间(a,b)上具有n+1阶函数,则对闭区间[a,b]上任意一点x, 有Taylor公式如下 注：f(n)(x)f^{(
【数学二】中值定理、不等式与零点问题-中值定理-费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式、麦克劳林公式
WEL测试
10-08 1754
【数学二】中值定理、不等式与零点问题-中值定理-费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式、麦克劳林公式
一些次常用函数的泰勒（麦克劳林）展开式
08-24
一些次常用函数的泰勒（麦克劳林）展开式 感觉很不错
html泰勒展开,常见的泰勒公式展开式大全
weixin_29228781的博客
06-07 7971
泰勒公式展开式都有哪些？下面，小编整理了一些常见的泰勒公式展开式，希望对你们有帮助。常见的泰勒公式展开式泰勒公式展开的技巧泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2！)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n！)f(n)(a)(x-a)^n+……设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①令x=a则a0=f(a)将①式两边求一阶导数，得f'...
泰勒展开（Taylor Expansion）详解以及在工程实践（SLAM）中的应用实例
qq_36812406的博客
07-09 1225
项目内容使用条件非线性函数可微，输入误差较小（局部线性近似有效）优点计算快速，适合高频状态估计（如 IMU 融合）局限线性化误差大时不准，需二阶或采样方法（如 UKF、蒙特卡洛）常用工具雅可比矩阵、协方差传播、残差线性化内容表达式作用一阶泰勒展开fx≈fx0∇f⊤Δxfx≈fx0​∇f⊤Δx一阶近似二阶泰勒展开加上12Δx⊤HΔx21​Δx⊤HΔx曲率控制精度更高极值判断。
泰勒公式
小白进阶的博客
09-17 4299
泰勒公式就是用某点的导数信息来求附近某点的值，用多项式来逼近函数值。f(x)在点a处泰勒展开，要求f（x）在x=a处n阶可导：f(x)=∑n=0∞f(n)(a)(x−a)nn!=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)(x−a)22!+⋯+f(n)(a)(x−a)nn!+Rn(x) \begin{aligned} f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a
泰勒公式的详细推导
Jensen Lee的博客
04-10 2万+
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。（其实就是用多项式函数去逼近光滑函数） 推导过程 （以下对于泰勒公式的来龙去脉做了详尽的讲解，也体现了精彩的数学分析过程，供读者仔细研究，必有收...
泰勒级数&泰勒展开， 麦克劳林级数
梅逊雪——记录科学研究
12-07 7903
问的度娘，查了一下
泰勒公式总结.pdf
05-18
需要注意的是，泰勒公式成立的前提是函数在展开点附近可以无限次求导。如果函数在某点不可导或者存在间断点，那么就无法在该点应用泰勒公式。此外，泰勒公式展开的阶数越高，所得到的近似就越精确，但也会导致计算的...
python泰勒公式法求正弦函数_看完这篇让你高数不挂科之——泰勒公式
weixin_39701861的博客
02-04 2972
本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天的文章我们来讨论大名鼎鼎的泰勒公式，泰勒公式真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，...
14.0高等数学五- 函数的幂级数展开（泰勒级数或者麦克劳林级数）
专栏
01-06 1268
函数的幂级数展开问题引入泰勒级数的概念定理1（单项的表示）定理1推导泰勒级数或者麦克劳林级数泰勒级数展开的条件定理2，余项充要条件定理3，有界充分条件泰勒级数展开的方法公式法间接法，逐项求导数或者逐项求积分间接法，待定系数间接法，幂级数运算泰勒级数的应用（近似计算）例题7例题8 问题引入 泰勒级数的概念 定理1（单项的表示） 定理1推导 ana_nan​通过f在原点的导数来表示 泰勒级数或者麦克劳林级数 泰勒级数展开的条件 定理2，余项充要条件 定理3，有界充分条件 一般情况余项的极限比较难计算，
计算泰勒展开式
02-08
计算泰勒展开式，输入底数和次数，程序会输出结果，可以计算某数为泰勒展开式主元时的最大值。
泰勒公式（泰勒展开式）通俗+本质详解
热门推荐
吴明磊的博客
03-03 49万+
比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。 泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值 所以泰勒公式是做什么用的？ 简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)，注意，逼近的...
泰勒展开式
SZ170110231的博客
05-11 6573
常用的 泰勒展开式（Taylor series expansion）是指把一个函数在某点的邻域内展开成幂级数的形式。以函数 f(x)f(x)f(x) 在点 aaa 处展开为例，其泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f(3)(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+⋯ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \cd
数学基础 -- 泰勒展开式
sz66cm 学习随笔
07-22 2万+
泰勒展开是一个强大的数学工具，它将复杂的函数表达为幂级数的形式，从而在某个点附近近似该函数。这在数值分析、物理学和工程学中有广泛应用，可以用来逼近函数值、解决微分方程、计算积分等。了解泰勒展开的基本原理和一些典型函数的展开式，对于深入理解和应用数学分析具有重要意义。
【返璞归真】-泰勒展开式
Python领域优质萌新学习笔记
10-16 4986
泰勒展开式是将一个函数在某点附近展开为一个无穷级数的方式，其原理是通过函数在该点的导数来近似函数值。：在设计滤波器时，用泰勒展开近似激励信号的传递函数，从而得到线性模型以优化滤波效果。，使得在小角度下，方便计算和积分。：在热力学中，理想气体状态方程。展开，得到一系列递推关系。的极值时，利用一阶导数。用于小范围变化分析。
常见泰勒公式展开式
鹏小小子的博客
10-16 16万+
常用泰勒公式
最新发布
07-15
### 常用泰勒展开式 泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法，其形式为： $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots $$ 当 $ a = 0 $ 时，该展开式称为**麦克劳林级数**。以下是一些常见的泰勒展开式： 1. **指数函数**： $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R}) $$ 2. **正弦函数**： $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R}) $$ 3. **余弦函数**： $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R}) $$ 4. **自然对数函数**： $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (-1 < x \leq 1) $$ 5. **几何级数**： $$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1) $$ 6. **平方根函数**（在 $ x = 1 $ 处展开）： $$ \sqrt{x} = 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{4}\frac{(x-1)^2}{2!} + \frac{3}{8}\frac{(x-1)^3}{3!} - \cdots \quad (0 < x < 2) $$ --- ### 泰勒展开式的应用 1. **幂级数的求导与积分** 幂级数可以逐项进行求导和积分操作，从而简化了复杂函数的求和问题。例如，通过逐项积分可以计算某些无法直接积分的函数。 2. **复分析中的解析延拓** 解析函数可以通过泰勒级数扩展到复平面上的开区域中，这一特性是复分析的重要工具之一。 3. **函数值的近似计算** 在工程、物理和计算机科学中，泰勒级数常用于数值逼近。例如，计算 $\sqrt{x}$ 时，可以通过预处理将其限制在收敛区间 $ (0, 2) $ 内，再利用泰勒展开进行近似[^2]。 4. **误差估计与精度控制** 泰勒展开不仅可以用来近似计算函数值，还可以通过余项公式（如拉格朗日余项）来估计误差，从而控制计算精度。 5. **证明不等式与极限计算** 利用泰勒展开可以推导出一些复杂的不等式，并用于求解不定型极限问题，例如洛必达法则的应用场景。 --- ### 示例：使用泰勒展开近似计算 $\sqrt{x}$ 对于函数 $ f(x) = \sqrt{x} $，在 $ x = 1 $ 处的泰勒展开式为： $$ \sqrt{x} \approx 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{4}\frac{(x-1)^2}{2!} + \frac{3}{8}\frac{(x-1)^3}{3!} - \cdots $$ 由于该级数仅在 $ 0 < x < 2 $ 范围内收敛，若待求值大于 2，则需要先进行预处理，将其缩小到收敛区间内。具体方法是反复除以 4（即右移两位），直到 $ x \in (0, 2) $，然后利用泰勒展开计算近似值，最后根据预处理次数进行修正。 ```python def taylor_sqrt(x, iterations=10): # 预处理：将x缩小到(0, 2) shift_count = 0 while x >= 2: x /= 4 shift_count += 1 # 计算泰勒展开近似值 a = 1.0 term = 1.0 result = 1.0 for n in range(1, iterations): term *= (x - 1) if n == 1: coeff = 1 / 2 elif n == 2: coeff = -1 / 4 elif n == 3: coeff = 3 / 8 else: coeff = ((2 * n - 3) / (2 * n)) * coeff result += coeff * term # 修正结果 for _ in range(shift_count): result *= 2 return result ``` ---
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