洛谷P4173 残缺的字符串(FFT匹配字符串)

Philosophiofantasia

于 2019-03-13 10:25:44 发布

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分类专栏：洛谷 FFT/NTT

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本文探讨了如何利用傅立叶变换(FFT)优化完整和模糊字符串匹配的问题。首先介绍了完整匹配的必要条件，并通过平方操作确保增量为正，简化为可以使用FFT处理的卷积问题。接着，讨论了模糊匹配的实现，其中'*'字符可以匹配任意字符，导致匹配函数的调整，最终得出的表达式虽然无法直接线性处理，但依然可以通过多次卷积保持O(n log n)的时间复杂度。文章最后提供了相关代码片段。

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首先考虑完整两串的匹配（我知道可以kmp，但是模糊匹配的思路需要从这里引出
假设短串a长为lena长串b长为lenb
我们知道两串如果完整匹配，他们每一个位置都要相同，即 $a [i] - b [y + i] = 0$
所以说a要完整匹配要满足：
$\sum_{i=0}^{lena} a[i]-b[y+i]=0$
这是必要条件，不是充分条件，因为我们发现bd和cc按这种规则也能匹配，为了使偏差的增量恒为正，我们给他平方一下
$\sum_{i=0}^{lena} (a[i]-b[y+i])^2=0$
这个时候复杂度显然是n^2的，考虑优化，我们把短串反转记为c，则 $a [i] = c [l e n a - i]$
$\sum_{i=0}^{lena} (c[lena-i]-b[y+i])^2=0$
$\sum_{i=0}^{lena} (c[lena-i])^2+\sum_{i=0}^{lena}(b[y+i])^2-2\sum_{i=0}^{lena}(c[lena-i]b[y+i])=0$