bzoj 3208 食物(生成函数)

最新推荐文章于 2021-02-23 21:55:35 发布

原创最新推荐文章于 2021-02-23 21:55:35 发布 · 947 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#生成函数

bzoj 同时被 2 个专栏收录

3 篇文章

订阅专栏

生成函数

2 篇文章

订阅专栏

本文通过组合数学的方法，构建了特定条件下的餐品搭配模型，利用生成函数和广义二项式定理计算了不同数量组合的可能性。通过具体的例子展示了如何将抽象的数学原理应用于实际问题中。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

先推一下生成函数
承德汉堡：偶数个
$1+x2+x4+x6+......=11−x21+x^2+x^4+x^6+...... =\frac{1}{1-x^2}$
可乐：0个或1个
$1+x=1−x21−x1+x=\frac{1-x^2}{1-x}$
鸡腿：0个或1个或2个
$1+x+x2=1−x31−x1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$
蜜桃多：奇数个
$x+x3+x5+......=x1−x2x+x^3+x^5+......=\frac{x}{1-x^2}$
鸡块：四的倍数个
$1+x4+x8+x12+......=11−x41+x^4+x^8+x^{12}+......=\frac{1}{1-x^4}$
包子：0个或1个或2个或3个
$1+x+x2+x3=1−x41−x1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$
土豆片炒肉：不超过一个
$1+x=1−x21−x1+x=\frac{1-x^2}{1-x}$
面包：三的倍数个
$1+x3+x6+x9+......=11−x31+x^3+x^6+x^9+......=\frac{1}{1-x^3}$
总生成函数：
$11−x2×1−x21−x×1−x31−x×x1−x2×11−x4×1−x41−x×1−x21−x×11−x3=x(1−x)4\frac{1}{1-x^2}\times\frac{1-x^2}{1-x}\times\frac{1-x^3}{1-x}\times\frac{x}{1-x^2}\times\frac{1}{1-x^4}\times\frac{1-x^4}{1-x}\times\frac{1-x^2}{1-x}\times\frac{1}{1-x^3}=\frac{x}{{(1-x)}^4}$
跟据广义二项式定理答案即为 $x^{n-1}$ 的系数
$ans=Cn−1+44−1=n∗(n+1)∗(n+2)6ans=C_{n-1+4}^{4-1}=\frac{n*(n+1)*(n+2)}{6}$

所以可以边读边膜，代码如下：

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 10007
using namespace std;

string tmp;
long long n;

long long inv(long long a)
{
	int b=mod-2,ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cin>>tmp;
	for(int i=0;i<tmp.length();i++)
	{
		n=(n*10+tmp[i]-'0')%mod;
	}
	printf("%lld\n",((n*(n+1)%mod)*(n+2)%mod)*inv(6)%mod);
}