环的基本概念

定义和简单性质

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定义：
如果一个非空集合R上定义了两个二元运算+，$\cdot$（加法和乘法）
1）(R,+)构成Abel群；
2）乘法分配律:
$\,\,\,\,\,\,\,\,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),\forall a,b,c \in R;$
3）分配律:
$\,\,\,\,\,\,\,\,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c ,c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b,\forall a,b,c \in R,$
则称R关于运算+，$\cdot$构成一个环，记为(R;+，$\cdot$)，或简记为 R.
4）若在环R中
$\,\,\,\,\,\,\,$乘法交换律:$a\cdot b=b\cdot a,\forall a,b \in R,$
成立，则称R为交换环
若环中存在乘法幺元，则称R为幺环

加法群（R，+）的幺元通常记为0，元素a的加法逆元通常记为-a.乘法幺元通常记为1.

我们比较熟悉的环有整数环$(Z;+,\times$)、域K上的一元多项式环$K[x]$、多元多项式环$K[x_{1},...,x_{n}]$、偶数环$(2Z;+,\times)(不是幺环)$、域K上的n阶全矩阵环$M_{n}(k)$(n>1时不时交换环)等.
如果一个环只有一个元素（必为0），则称之为零环

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0元素和负元素关于乘法有简单性质：
命题，设R是环，则
1）$0a=a0=0,\forall a\in R;$
2）$(-a)b=a(-b)=-(ab),\forall a,b\in R$
定义，设R为幺环，
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\in R,如果存在b\in R使得ba=1,则称b为a的左逆元。反之，右逆元$

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定义，设R为幺环
$a\in R.如果b\in R使得ba=ab=1$
$则称b为a的$逆元，记为$a^{-1}$,同时称a为可逆元或单位元.
$na与a^n只是记号，容易验证ma+na=(m+n)a、a^ma^n=a^{m+n}及(ma)(nb)=mn(ab)$
其中m，n为任意整数，a，b为环R的任意元素（只要记号有意义）

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在矩阵环中我们遇到过两个非零的矩阵相乘可以为零，这导致”零因子”的概念
如果$\exists b\in R \backslash \{0\}$使得ab=0，则称a是R的一个左零因子
如果$\exists b\in R \backslash \{0\}$使得ba=0，则称a是R的一个右零因子
如果a既是左零因子又是右零因子，则称a是R的一个零因子
在交换环中，显然左零因子和右零因子是一个概念

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定义，没有非零零因子的、至少含有两个元素的交换幺环称为整环
——至少含有两个元素，等价于0$\neq$1

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子环、理想和商环

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定义
设(R;+,⋅)是环，S⊆R.如果(S;+,⋅)构成一个环，