九宫幻方

真题:九宫幻方

小明最近在教邻居家的小朋友小学奥数,而最近正好讲述到了三阶幻方这个部分。 三阶幻方指的是将 1~9 不重复的填入一个 3*3 的矩阵当中,使得每一行、每一列 和每一条对角线的和都是相同的。  三阶幻方又被称作九宫格,在小学奥数里有一句非常有名的口诀:“二四为肩,六 八为足,左三右七,戴九履一,五居其中”,通过这样的一句口诀就能够非常完美 的构造出一个九宫格来。

 4 9 2

3 5 7

8 1 6

有意思的是,所有的三阶幻方,都可以通过这样一个九宫格进行若干镜像和旋转操 作之后得到。 现在小明准备将一个三阶幻方(不一定是上图中的那个)中的一些数抹掉,交给邻 居家的小朋友来进行还原,并且希望她能够判断出究竟是不是只有一个解。   而你呢,也被小明交付了同样的任务,但是不同的是,你需要写一个程序~ 
 
输入格式: 输入仅包含单组测试数据。 每组测试数据为一个 3*3 的矩阵,其中为 0 的部分表示被小明抹去的部分。对于 100%的数据,满足给出的矩阵至少能还原出一组可行的三阶幻方。 
 
输出格式: 如果仅能还原出一组可行的三阶幻方,则将其输出,否则输出“Too Many”(不包 含引号)。 
 
样例输入

0 7 2

0 5 0

0 3 0 
 
样例输出

6 7 2

1 5 9

8 3 4 
 
有很多同学可能会考虑,如何对标准方阵进行镜像和旋转变换,其实呢,这个矩阵进行变 换情况就那么几种。在考场上写程序计算,就不如直接自己把所有的情况列举出来。 还有一个就是,我们一定要用二维数组表示矩阵吗?我们用一维会不会简化程序。 

import java.util.Scanner;

public class Main{
	static boolean test(String ss,String s) {
		for(int i=0;i<s.length();i++) {
			if(ss.charAt(i)==s.charAt(i))continue;
			if(s.charAt(i)=='0')continue;
			return false;
		}
		return true;
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc=new Scanner (System.in);
		String s= "072050030";
		String[] ss= {
				"492357816",
				"428951276",
				"834159672",
				"816357492",
				"618753294",
				"672159834",
				"276951438",
				"294753618"
		};
		for(int i=0;i<ss.length;i++) {
			if(test(ss[i],s)){
				System.out.println(ss[i].substring(0,3));
				System.out.println(ss[i].substring(3,6));
				System.out.println(ss[i].substring(6,9));
			}
		}
	}
}
		

 

### 蓝桥杯九宫幻方 C++ 实现 以下是基于DFS(深度优先搜索)以及全排列的方法实现的九宫幻方解决方案。此方案通过枚举所有可能的情况,验证每种情况是否满足题目条件。 #### 方法一:使用 `next_permutation` 枚举所有排列 这种方法的核心在于利用标准库中的 `std::next_permutation` 函数生成数组的所有排列组合,并逐一判断这些排列是否构成合法的九宫幻方[^1]。 ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; bool isMagicSquare(int arr[]) { // 判断每一行、列、对角线之和是否等于15 if (arr[0] + arr[1] + arr[2] != 15) return false; if (arr[3] + arr[4] + arr[5] != 15) return false; if (arr[6] + arr[7] + arr[8] != 15) return false; if (arr[0] + arr[3] + arr[6] != 15) return false; if (arr[1] + arr[4] + arr[7] != 15) return false; if (arr[2] + arr[5] + arr[8] != 15) return false; if (arr[0] + arr[4] + arr[8] != 15) return false; if (arr[2] + arr[4] + arr[6] != 15) return false; return true; } void solve() { int arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; sort(arr, arr + 9); // 排序以便于 next_permutation 使用 do { if (isMagicSquare(arr)) { for (int i = 0; i < 9; ++i) { cout << arr[i] << " "; if ((i + 1) % 3 == 0) cout << endl; } break; // 找到第一个解即可停止 } } while (next_permutation(arr, arr + 9)); } int main() { solve(); return 0; } ``` --- #### 方法二:基于 DFS 的回溯算法 该方法采用递归的方式逐步填充矩阵,并在每次填入新数字时检查当前状态是否仍然有可能成为合法的九宫幻方。如果发现某一步无法继续,则立即返回上一层重新尝试其他可能性。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int N = 3; int grid[N][N]; bool used[10]; // 记录哪些数字已经被使用过 // 检查当前位置是否可以放置 num bool isValid(int row, int col, int num) { if (used[num]) return false; // 数字已被占用 // 如果不是最后一行不需要计算行列总和 if (row < N - 1 && col < N - 1) return true; // 行约束 int sumRow = 0; for (int c = 0; c < N; ++c) { sumRow += grid[row][c]; } if (sumRow > 15 || (col == N - 1 && sumRow != 15)) return false; // 列约束 int sumCol = 0; for (int r = 0; r < N; ++r) { sumCol += grid[r][col]; } if (sumCol > 15 || (row == N - 1 && sumCol != 15)) return false; // 对角线约束 if (row == col) { // 主对角线 int diagSum = 0; for (int d = 0; d < N; ++d) { diagSum += grid[d][d]; } if (diagSum > 15 || (row == N - 1 && diagSum != 15)) return false; } if (row + col == N - 1) { // 副对角线 int antiDiagSum = 0; for (int d = 0; d < N; ++d) { antiDiagSum += grid[d][N - 1 - d]; } if (antiDiagSum > 15 || (row == N - 1 && antiDiagSum != 15)) return false; } return true; } // 回溯函数 bool dfs(int pos) { if (pos >= N * N) return true; // 完成填充 int row = pos / N; int col = pos % N; for (int num = 1; num <= 9; ++num) { if (!isValid(row, col, num)) continue; grid[row][col] = num; used[num] = true; if (dfs(pos + 1)) return true; // 回溯操作 grid[row][col] = 0; used[num] = false; } return false; } void solve() { memset(grid, 0, sizeof(grid)); memset(used, false, sizeof(used)); bool success = dfs(0); if (success) { for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { cout << grid[i][j] << " "; } cout << endl; } } else { cout << "No solution found!" << endl; } } int main() { solve(); return 0; } ``` 上述两种方法均能有效解决问题,具体选择取决于个人偏好或实际需求。第一种方式更简洁明了,而第二种则更加灵活可控。 --- ### 关键点总结 - **核心性质**:九宫幻方的关键特性包括中心位置固定为5,各方向数值相加之和恒定为15[^2]。 - **优化策略**:由于九宫幻方具有高度对称性和特定规律,因此可通过提前剪枝减少不必要的计算量。
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