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蓝桥杯九宫幻方 C++ 实现
以下是基于DFS（深度优先搜索）以及全排列的方法实现的
九宫幻方解决方案。此方案通过枚举所有可能的情况，验证每种情况是否满足题目条件。
#### 方法一：使用 `next_permutation` 枚举所有排列
这种方法的核心在于利用标准库中的 `std::next_permutation` 函数生成数组的所有排列组合，并逐一判断这些排列是否构成合法的
九宫幻方[^1]。
```cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool isMagicSquare(int arr[]) {
// 判断每一行、列、对角线之和是否等于15
if (arr[0] + arr[1] + arr[2] != 15) return false;
if (arr[
3] + arr[4] + arr[5] != 15) return false;
if (arr[6] + arr[7] + arr[8] != 15) return false;
if (arr[0] + arr[
3] + arr[6] != 15) return false;
if (arr[1] + arr[4] + arr[7] != 15) return false;
if (arr[2] + arr[5] + arr[8] != 15) return false;
if (arr[0] + arr[4] + arr[8] != 15) return false;
if (arr[2] + arr[4] + arr[6] != 15) return false;
return true;
}
void solve() {
int arr[] = {1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
sort(arr, arr + 9); // 排序以便于 next_permutation 使用
do {
if (isMagicSquare(arr)) {
for (int i = 0; i < 9; ++i) {
cout << arr[i] << " ";
if ((i + 1) %
3 == 0) cout << endl;
}
break; // 找到第
一个解即可停止
}
} while (next_permutation(arr, arr + 9));
}
int main() {
solve();
return 0;
}
```
---
#### 方法二：基于 DFS 的回溯算法
该方法采用递归的方式逐步填充矩阵，并在每次填入新数字时检查当前状态是否仍然有可能成为合法的
九宫幻方。如果发现某一步无法继续，则立即返回上一层重新尝试其他可能性。
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N =
3;
int grid[N][N];
bool used[10]; // 记录哪些数字已经被使用过
// 检查当前位置是否可以放置 num
bool isValid(int row, int col, int num) {
if (used[num]) return false; // 数字已被占用
// 如果不是最后一行不需要计算行列总和
if (row < N - 1 && col < N - 1) return true;
// 行约束
int sumRow = 0;
for (int c = 0; c < N; ++c) {
sumRow += grid[row][c];
}
if (sumRow > 15 || (col == N - 1 && sumRow != 15)) return false;
// 列约束
int sumCol = 0;
for (int r = 0; r < N; ++r) {
sumCol += grid[r][col];
}
if (sumCol > 15 || (row == N - 1 && sumCol != 15)) return false;
// 对角线约束
if (row == col) { // 主对角线
int diagSum = 0;
for (int d = 0; d < N; ++d) {
diagSum += grid[d][d];
}
if (diagSum > 15 || (row == N - 1 && diagSum != 15)) return false;
}
if (row + col == N - 1) { // 副对角线
int antiDiagSum = 0;
for (int d = 0; d < N; ++d) {
antiDiagSum += grid[d][N - 1 - d];
}
if (antiDiagSum > 15 || (row == N - 1 && antiDiagSum != 15)) return false;
}
return true;
}
// 回溯函数
bool dfs(int pos) {
if (pos >= N
* N) return true; // 完成填充
int row = pos / N;
int col = pos % N;
for (int num = 1; num <= 9; ++num) {
if (!isValid(row, col, num)) continue;
grid[row][col] = num;
used[num] = true;
if (dfs(pos + 1)) return true;
// 回溯操作
grid[row][col] = 0;
used[num] = false;
}
return false;
}
void solve() {
memset(grid, 0, sizeof(grid));
memset(used, false, sizeof(used));
bool success = dfs(0);
if (success) {
for (int i = 0; i < N; ++i) {
for (int j = 0; j < N; ++j) {
cout << grid[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
} else {
cout << "No solution found!" << endl;
}
}
int main() {
solve();
return 0;
}
```
上述两种方法均能有效解决问题，具体选择取决于个人偏好或实际需求。第一种方式更简洁明了，而第二种则更加灵活可控。
---
### 关键点总结
-
**核心性质
**：
九宫幻方的关键特性包括中心位置固定为5，各方向数值相加之和恒定为15[^2]。
-
**优化策略
**：由于
九宫幻方具有高度对称性和特定规律，因此可通过提前剪枝减少不必要的计算量。
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