【机器学习】PCA推导

最新推荐文章于 2025-05-26 09:53:07 发布

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【机器学习】PCA推导

PCA（主成分分析）是一种线性降维方式，它基于最大重构性对数据进行降维。

记数据集为 $Xm×nX_{m\times n}$ ，其中 $m$ 为样本数量， $n$ 为原始特征空间的特征维数。设线性变换矩阵为 $Wn×dW_{n\times d}$ ，其中列向量之间彼此正交，且模长为1。则降维后的样本 $Z = X W$ , 重构损失可以表示为 $loss = || X-XWW^T||_{F}^{2}$ .
$arg⁡min⁡θ∣∣X−XWWT∣∣F2=arg⁡min⁡θtr[(X−XWWT)(X−XWWT)T]=arg⁡min⁡θtr[(X−XWWT)(XT−WWTXT)]=arg⁡min⁡θtr(XXT−2XWWTXT−XWWTWWTXT)=arg⁡min⁡θtr(XXT−2XWWTXT+XWWTXT)(因为WTW=Ed×d))=arg⁡min⁡θtr(XXT−XWWTXT)=arg⁡min⁡θtr(−XWWTXT)=arg⁡max⁡θtr(XWWTXT)=arg⁡max⁡θtr[WT(XTX)W]\begin{aligned} &\mathop{\arg\min}\limits_{\theta} || X-XWW^T||_{F}^{2}\\ =&\mathop{\arg\min}\limits_{\theta} tr[(X-XWW^T)(X-XWW^T)^T]\\ =&\mathop{\arg\min}\limits_{\theta} tr[(X-XWW^T)(X^T-WW^TX^T)]\\ =&\mathop{\arg\min}\limits_{\theta} tr(XX^T-2XWW^TX^T-XWW^TWW^TX^T)\\ =&\mathop{\arg\min}\limits_{\theta} tr(XX^T-2XWW^TX^T+XWW^TX^T)(因为W^TW=E_{d\times d}))\\ =&\mathop{\arg\min}\limits_{\theta} tr(XX^T-XWW^TX^T)\\ =&\mathop{\arg\min}\limits_{\theta} tr(-XWW^TX^T)\\ =&\mathop{\arg\max}\limits_{\theta} tr(XWW^TX^T)\\ =&\mathop{\arg\max}\limits_{\theta} tr[W^T(X^TX)W]\\ \end{aligned}$