MachineLearning—Linear Regression（一）

最新推荐文章于 2020-07-10 12:15:19 发布

令狐公子

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本文详细介绍单变量线性回归的基本概念与原理，包括梯度下降算法的理解与应用，通过MATLAB程序展示了normalequations和gradientdescent两种实现方法，并提供了具体的代码实例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

本篇博文主要介绍单变量线性回归基本概念原理，包括梯度下降算法的理解，形象表示，核心公式以及其实现的两种方法：normal equations 和gradient descent方法，其中给出了其MATLAB程序及实现结果。具体的线性回归理解和算法公式推导将在下一篇博文给出，包括LMS，概率解释和局部加权等内容。

单变量线性回归：

m通常代表样本点的个数，i通常代表第i个样本点（索引）

我们要做的就是得出 θ0 和 θ1 这两个参数的值，来让假设函数h表示的直线尽量地与这些样本点很好的拟合

目标是为了使h预测的值与样本点真实值间的差值最小

由图可以看出在某个（θ0,θ1）处J达到最小值

首先初始化（θ0,θ1），我们要找到J的最优解，或者说局部最优，换句话来说我们要找到J的最小值，按照前面的权值更新法则，从最陡峭的地方，一步一步的改变（θ0,θ1）以使J达到最小值，注意在这个过程当中（θ0,θ1）是同时更新的计算的，对于(θ0, θ1, θ2, ...... ,θj...θn )也是如此，注意区分代表某个样本点的i的意义，最大为m个样本。

可以看出，随着权值不断的更新，当越来越接近最小值的时候或者说局部最小值，曲线会变得越来越平缓，即导数会变的越来越小，α如果固定不变的话表达式中被减去的部分本身就会变的越来越小，即下降的幅度在越来越小，从而确保可以到达局部最优值，所以也可以不必减小α。

使用normal equations的方法实现单变量线性回归：

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:12px;">x = load('ex2x.dat');     //数据为50个样本点，由年龄x预测身高y
y = load('ex2y.dat');
plot(x,y,'*')
xlabel('age')
ylabel('height')
x = [ones(50,1),x];
w=inv(x'*x)*x'*y             //normal equations公式
hold on
plot(x(:,2),0.0639*x(:,2)+0.7502)</span>

采用gradient descend过程求解：

matlab中ones(size(x,1),1)表示生成一个行数与x一致，列数等于1且所有元素都是1的矩阵。也就是说生成一个元素为全为1的列向量，这个列向量的行数和矩阵x的行数一样。

详细解析：

size(x,1) 获取矩阵x沿着第一个维度的长度，也就是获取x的行数
ones(m,n) 生成一个m行n列且所有元素都是1的矩阵

zeros(size(x(1,:)))' 注意这个跟上面那个不一样，MATLAB中表达式所代表的意义如下（ zeros(1,2)' ）：

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:12px;">>> size(x(1,:))

ans =

     1     2          //代表一行两列的意思

>> x(1,:)

ans =

    1.0000    2.0659      //只取出了50行2列中的整个第一行部分

>> size(x)

ans =

    50     2</span>

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:12px;">% Exercise 2 Linear Regression
% Data is roughly based on 2000 CDC growth figures
% for boys
% x refers to a boy's age
% y is a boy's height in meters


clear all; close all; clc
x = load('ex2x.dat'); y = load('ex2y.dat');          

m = length(y);        % number of training examples


% Plot the training data
figure;                     % open a new figure window
plot(x, y, 'o');
ylabel('Height in meters')
xlabel('Age in years')

% Gradient descent
x = [ones(m, 1) x];              % Add a column of ones to x
theta = zeros(size(x(1,:)))';    % initialize fitting parameters别忘了转置</span>

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:12px;">MAX_ITR = 1500;
alpha = 0.07;

for num_iterations = 1:MAX_ITR
    
    grad = (1/m).* x' * ((x * theta) - y);       %乘所有的Xj
    theta = theta - alpha .* grad;
    
    % Sequential update: The wrong way to do gradient descent
    % grad1 = (1/m).* x(:,1)' * ((x * theta) - y);
    % theta(1) = theta(1) + alpha*grad1;
    % grad2 = (1/m).* x(:,2)' * ((x * theta) - y);
    % theta(2) = theta(2) + alpha*grad2;
end
theta      % print theta to screen


hold on;                            % keep previous plot visible
plot(x(:,2), x*theta, '-')          %取第二列
legend('Training data', 'Linear regression')      %标出图像中各曲线标志所代表的意义
hold off                                          % don't overlay any more plots on this figure

% Closed form solution for reference
% You will learn about this method in future videos
exact_theta = (x' * x)\x' * y                     %normal equations公式

% Predict values for age 3.5 and 7
predict1 = [1, 3.5] *theta
predict2 = [1, 7] * theta


% Calculate J matrix
% Grid over which we will calculate J
theta0_vals = linspace(-3, 3, 100);
theta1_vals = linspace(-1, 1, 100);

% initialize J_vals to a matrix of 0's
J_vals = zeros(length(theta0_vals), length(theta1_vals));

for i = 1:length(theta0_vals)
      for j = 1:length(theta1_vals)
      t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];    
      J_vals(i,j) = (0.5/m) .* (x * t - y)' * (x * t - y); //当前所有theta情况下的cost值
    end
end

% Because of the way meshgrids work in the surf command, we need to 
% transpose J_vals before calling surf, or else the axes will be flipped
J_vals = J_vals';                           //因为surf作图的要求所以J_vals在命令中要转置
% Surface plot
figure;
surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals)
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1');
% Contour plot
figure;
% Plot J_vals as 15 contours spaced logarithmically between 0.01 and 100
contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15))     //对数等分 行向量，画出指定值的等高线？
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1');    </span>