三角学概述

三角学

• 用弧度度量的角与三角函数的基本知识
• 实轴上的三角函数（不只是介于$0^{\circ }$和$90^{\circ }$）的角
• 三角函数的图像
• 三角恒等式

基本知识

旋转一周为$2\pi$，因为半径为1个单位的圆的周长为$2\pi$个单位。事实上，这个圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度

几个重要的角

角度制	弧度制
$90^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}$
$180^{\circ }$	$\pi$
$270^{\circ }$	$\frac{3\pi }{2}$

角度制和弧度制转换的公式
$$用弧度度量的角=\frac{\pi }{180}\times 用度计量的角$$
由三角形定义三角函数

假设有一个直角三角形，除直角外的一角被记为$\theta$

那么基本公式为
$$\sin (\theta )=\frac{对边}{斜边}$$

$$\cos (\theta )=\frac{邻边}{斜边}$$

$$\tan (\theta )=\frac{对边}{邻边}$$

对边就是对着角$\theta$的边，邻边则是挨着角$\theta$的边，斜边是最长的那条边，并始终对着直角

他们的倒数函数分别为

余割
$$\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$$
正割
$$\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$$
余切
$$\cot (x)=\frac{1}{\tan (x)}$$
以下角的三角函数值需要牢记

那么我们该如何求任意角的正弦或者余弦呢，下面这张图给了很好的回答

根据这张图，我们就可以定义如下三个三角函数
$$\sin (\theta )=\frac{y}{r}$$

$$\cos (\theta )=\frac{x}{r}$$

$$\tan (\theta )=\frac{y}{x}$$

如果我们选取了另外一个点，上述比值不会受到任何影响，为方便起见，甚至经常假设r=1，这样得到的点(x,y)会落在单位圆上。，因此上述公式可以化简为
$$\sin (\theta )=y$$

$$\cos (\theta )=x$$

$$\tan (\theta )=\frac{y}{x}$$

假设我们要求$\sin (\frac{7\pi }{6})$

• 首先，画一个如下图所示的直角坐标系

• 选取该射线上的一点，该点到原点的距离r=1

• 然后我们从该点至x轴做了一条垂线
  *

• 我们目前已知r=1，只需再知道y等于多少，即可知道该角的正弦

• 这里我们就需要用到$\frac{7\pi }{6}$的参考角，一般来说$\theta$的参考角是在表示角$\theta$的射线和x轴之间的最小角，它必定介于0到$\frac{\pi }{2}$​

• 这里$\frac{7\pi }{6}$的参考角为$\frac{7\pi }{6}-\pi =\frac{\pi }{6}$

• 根据上文我们总结的公式可得$y=\sin (\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$，但请注意，y是有正负的，所以，因为$\frac{7\pi }{6}$在第三象限，所以y应该为$-\frac{1}{2}$

• 所以$\sin (\frac{7\pi }{6})=-\frac{1}{2}$

ASTC方法

所谓ASTC分别对应着角在第一象限到第四象限中正弦、余弦、正切的正负情况。该方法以每个象限中为正值的首字母命名

A: all

S: sin

t: tan

c: cos

也就是说，在第一象限中，三个函数全为正值；第二象限中，只有正弦为正值；第三象限中，只有正切为正值；第四象限中，只有余弦为正值

但该方法对角0，$\frac{\pi }{2}$，$\pi$，$\frac{3\pi }{2}$无效，因为它们都位于左标轴上

使用该方法的步骤简单总结如下(这里我们不讨论在坐标轴上的情况)

1. 画出象限图，确定角的位置在第几象限
2. 找出该角的参考角
3. 根据常用角的三角函数求出参考角的三角函数值
4. 使用ASTC来确定正负

$[0,2\pi ]$以外的三角函数

如何取大于$2\pi$或小于0的角的三角函数呢？

仔细想象我们旋转360度，是不是面向的方向不变呢？在三角函数中，加上或减去$2\pi$的倍数，最终的三角函数值也是不变的，因此我们可以加上或减去$2\pi$的倍数，直到得到的角落在$[0,2\pi ]$，就可以求了

假设有一个角为n，所有跟它等价的角我们可以写为$\pi /2+2\pi n$​,，其中n可以取所有整数

另外，逆时针旋转$-n\pi$实际上就是顺时针旋转$n\pi$

三角函数的图像

记住正弦、余弦和正切函数的图像非常有用，这些函数都是周期的，这意味着，它们会从左到右反复地重复自己

下面是正弦函数在$[0,2\pi ]$的图像

由于$\sin (x)$以$2\pi$为单位重复，我们说sin(x)是x的周期函数，其周期为$2\pi$,可以利用这一点来看看在$[0,2\pi ]$外的图像，由于这里会无限重复，所以我们只看在$[-3\pi ,3\pi ]$的图像

该图像关于原点有$180^{\circ }$点对称，即该函数是一个奇函数

下面是余弦函数在$[0,2\pi ]$的图像

利用$\cos (x)$的周期为$2\pi$这一事实，画出该函数在$[-3\pi ,3\pi ]$的图像

可以看出该图像关于y轴有镜面对称性，因此，我们可知$\cos (x)$是偶函数

与正弦函数和余弦函数不同的是，正切函数的周期是$\pi$且其有垂直渐近线，下面是正切函数的图像

下面分别是正割、余割、余切的函数图像



总结

$\sin (x)$、$\tan (x)$、$\cot (x)$、$\csc (x)$都是奇函数。$cos(x)$、$\sec (x)$都是偶函数

三角恒等式

正切和余切可以用正弦和余弦表示

正切
$$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$$
余切
$$\cot (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$$
毕达哥拉斯定理
$${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$$
将这个等式两边同时除以${\cos }^2(x)$，将得到如下等式
$$1+{\tan }^2(x)=se{c}^2(x)$$
如果将毕达哥拉斯定义等式两边同时处于$si{n}^2(x)$，将得到以下等式
$${\cot }^2(x)+1={\csc }^2(x)$$

其他关系

一些函数的名字以音节co开头，这表示互余，有如下一般关系
$$三角函数(x)=co三角函数(\frac{\pi }{2}-x)$$
特别地，有如下几条公式
$$sin(x)=cos(\frac{\pi }{2}-x)$$

$$\tan (x)=\cot (\frac{\pi }{2}-x)$$

$$\sec (x)=\csc (\frac{\pi }{2}-x)$$

下面这组恒等式也很重要
$$\sin (A-B)=\sin (A)\cos (B)-\cos (A)\sin (B)$$

$$\cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B)$$

$$\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$$

$$\cos (A-B)=\cos (A)\cos (B)+\sin (A)\sin (B)$$

上面这组恒等式中，我们令A=B=x，再利用毕达哥拉斯定理，就会得到倍角公式
$$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$$

$$\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$$