经典算法之的最小二乘

基于最小二乘法二阶拟合一维数据

工程实践中，很多量测数据的波形存在丢帧，尖凸，噪声。直接使用该量测数据，就不可避免的带来抖动，震荡甚至是发散。因此对数据滤波就十分必要。此处介绍一种对一维量测数据滤波，徒手计算二阶拟合参数的方法，最小二乘法。方法出处，见附录论文。

幂级数二阶拟合和对应参数变量

二阶拟合公式 $yi=\alpha +\phi \ast xi+\xi \ast x{i}^2$ 其中 $i=1、2、3....n$ 。
中间变量$b、c、d、e、f、g、h$计算如下：

$$\Sigma xi＝b，\Sigma yi＝c，\Sigma x{i}^2＝d，\Sigma xi\cdot yi＝e，\Sigma x{i}^3＝f，\Sigma x{i}^4＝g，\Sigma x{i}^2\cdot yi＝h$$
由上面的中间计算值，进而求出二阶拟合公式的系数$\alpha 、\phi 、\xi$。

其中，n表示$x$的维数。

高阶拟合中关键矩阵

高阶拟合中的推导矩阵如下所示，其中左侧系数矩阵经转化后能够移到右侧。

若将上述矩阵简化(对$xi$有非零要求)，可得如下矩阵。

同样的方法，将上述第二个矩阵简化后就会得到系数$a0、a1、a2...an$。进而得到拟合函数$y=a0+a1\ast x+a2\ast x^2...an\ast x^n$。

二阶拟合温度曲线实例

matlab示例代码

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C示例代码

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python示例代码

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附录：

[01] 最小二乘法曲线拟合及优化算法研究 《工业控制计算机》