博客介绍基于最小二乘法对一维量测数据进行二阶拟合的方法。因工程中量测数据存在丢帧、尖凸、噪声等问题，滤波很有必要。文中给出幂级数二阶拟合公式及参数变量计算方法，介绍高阶拟合关键矩阵，还给出二阶拟合温度曲线的Matlab、C、Python示例代码。
基于最小二乘法二阶拟合一维数据
工程实践中，很多量测数据的波形存在丢帧，尖凸，噪声。直接使用该量测数据，就不可避免的带来抖动，震荡甚至是发散。因此对数据滤波就十分必要。此处介绍一种对一维量测数据滤波，徒手计算二阶拟合参数的方法，最小二乘法。方法出处，见附录论文。
幂级数二阶拟合和对应参数变量
二阶拟合公式 yi=α+φ∗xi+ξ∗xi2y{i} = α + φ*x{i} + ξ*x{i}^2yi=α+φ∗xi+ξ∗xi2 其中 i=1、2、3....ni=1、2、3....ni=1、2、3....n 。
中间变量b、c、d、e、f、g、hb、c、d、e、f、g、hb、c、d、e、f、g、h计算如下：
Σxi＝b，Σyi＝c，Σxi2＝d，Σxi⋅yi＝e，Σxi3＝f，Σxi4＝g，Σxi2⋅yi＝h
Σ xi＝b，
Σ yi＝c，
Σxi^2 ＝d，
Σ xi·yi＝e，
Σxi^3＝f，
Σxi^4＝g，
Σxi^2·yi＝h
Σxi＝b，Σyi＝c，Σxi2＝d，Σxi⋅yi＝e，Σxi3＝f，Σxi4＝g，Σxi2⋅yi＝h
由上面的中间计算值，进而求出二阶拟合公式的系数α、φ、ξα、φ、ξα、φ、ξ。
其中，n表示xxx的维数。
高阶拟合中关键矩阵
高阶拟合中的推导矩阵如下所示，其中左侧系数矩阵经转化后能够移到右侧。
若将上述矩阵简化(对xixixi有非零要求)，可得如下矩阵。
同样的方法，将上述第二个矩阵简化后就会得到系数a0、a1、a2...ana0、a1、a2...ana0、a1、a2...an。进而得到拟合函数y=a0+a1∗x+a2∗x2...an∗xny = a0+a1*x+a2*x^2...an*x^ny=a0+a1∗x+a2∗x2...an∗xn。
二阶拟合温度曲线实例
matlab示例代码
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C示例代码
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python示例代码
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附录：
[01] 最小二乘法曲线拟合及优化算法研究 《工业控制计算机》
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