经典算法之的最小二乘

博客介绍基于最小二乘法对一维量测数据进行二阶拟合的方法。因工程中量测数据存在丢帧、尖凸、噪声等问题,滤波很有必要。文中给出幂级数二阶拟合公式及参数变量计算方法,介绍高阶拟合关键矩阵,还给出二阶拟合温度曲线的Matlab、C、Python示例代码。

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基于最小二乘法二阶拟合一维数据

工程实践中,很多量测数据的波形存在丢帧,尖凸,噪声。直接使用该量测数据,就不可避免的带来抖动,震荡甚至是发散。因此对数据滤波就十分必要。此处介绍一种对一维量测数据滤波,徒手计算二阶拟合参数的方法,最小二乘法。方法出处,见附录论文。

幂级数二阶拟合和对应参数变量

二阶拟合公式 yi=α+φ∗xi+ξ∗xi2y{i} = α + φ*x{i} + ξ*x{i}^2yi=α+φxi+ξxi2 其中 i=1、2、3....ni=1、2、3....ni=123....n
中间变量b、c、d、e、f、g、hb、c、d、e、f、g、hbcdefgh计算如下:

Σxi=b,Σyi=c,Σxi2=d,Σxi⋅yi=e,Σxi3=f,Σxi4=g,Σxi2⋅yi=h Σ xi=b, Σ yi=c, Σxi^2 =d, Σ xi·yi=e, Σxi^3=f, Σxi^4=g, Σxi^2·yi=h ΣxibΣyicΣxi2dΣxiyieΣxi3fΣxi4gΣxi2yih
由上面的中间计算值,进而求出二阶拟合公式的系数α、φ、ξα、φ、ξαφξ
在这里插入图片描述
其中,n表示xxx的维数。

高阶拟合中关键矩阵

高阶拟合中的推导矩阵如下所示,其中左侧系数矩阵经转化后能够移到右侧。
在这里插入图片描述
若将上述矩阵简化(对xixixi有非零要求),可得如下矩阵。
在这里插入图片描述

同样的方法,将上述第二个矩阵简化后就会得到系数a0、a1、a2...ana0、a1、a2...ana0a1a2...an。进而得到拟合函数y=a0+a1∗x+a2∗x2...an∗xny = a0+a1*x+a2*x^2...an*x^ny=a0+a1x+a2x2...anxn

二阶拟合温度曲线实例

在这里插入图片描述

matlab示例代码

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C示例代码

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python示例代码

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附录:

[01] 最小二乘法曲线拟合及优化算法研究 《工业控制计算机》

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