[CSP-S2020T2]动物园

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[CSP-S2020T2] 动物园

题目描述

动物园里饲养了很多动物，饲养员小 A 会根据饲养动物的情况，按照《饲养指南》购买不同种类的饲料，并将购买清单发给采购员小 B。

具体而言，动物世界里存在 $2^k$ 种不同的动物，它们被编号为 $0\sim 2^k-1$。动物园里饲养了其中的 $n$ 种，其中第 $i$ 种动物的编号为 $a_i$。

《饲养指南》中共有 $m$ 条要求，第 $j$ 条要求形如“如果动物园中饲养着某种动物，满足其编号的二进制表示的第 $p_j$ 位为 $1$，则必须购买第 $q_j$ 种饲料”。其中饲料共有 $c$ 种，它们从 $1\sim c$ 编号。本题中我们将动物编号的二进制表示视为一个 $k$ 位 01 串，第 $0$ 位是最低位，第 $k-1$ 位是最高位。

根据《饲养指南》，小 A 将会制定饲料清单交给小 B，由小 B 购买饲料。清单形如一个 $c$ 位 $01$ 串，第 $i$ 位为 $1$ 时，表示需要购买第 $i$ 种饲料；第 $i$ 位为 $0$ 时，表示不需要购买第 $i$ 种饲料。 实际上根据购买到的饲料，动物园可能可以饲养更多的动物。更具体地，如果将当前未被饲养的编号为 $x$ 的动物加入动物园饲养后，饲料清单没有变化，那么我们认为动物园当前还能饲养编号为 $x$ 的动物。

现在小 B 想请你帮忙算算，动物园目前还能饲养多少种动物。

输入格式

第一行包含四个以空格分隔的整数 $n,m,c,k$。
分别表示动物园中动物数量、《饲养指南》要求数、饲料种数与动物编号的二进制表示位数。
第二行 $n$ 个以空格分隔的整数，其中第 $i$ 个整数表示 $a_i$。
接下来 $m$ 行，每行两个整数 $p_i,q_i$ 表示一条要求。
数据保证所有 $a_i$ 互不相同，所有的 $q_i$ 互不相同。

输出格式

仅一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 3 5 4
1 4 6
0 3
2 4
2 5

输出 #1

13

输入输出样例 #2

输入 #2

2 2 4 3
1 2
1 3
2 4

输出 #2

2

说明/提示

【样例 #1 解释】

动物园里饲养了编号为 $1,4,6$ 的三种动物，《饲养指南》上的三条要求为：

1. 若饲养的某种动物的编号的第 $0$ 个二进制位为 $1$，则需购买第 $3$ 种饲料。
2. 若饲养的某种动物的编号的第 $2$ 个二进制位为 $1$，则需购买第 $4$ 种饲料。
3. 若饲养的某种动物的编号的第 $2$ 个二进制位为 $1$，则需购买第 $5$ 种饲料。

饲料购买情况为：

1. 编号为 $1$ 的动物的第 $0$ 个二进制位为 $1$，因此需要购买第 $3$ 种饲料；
2. 编号为 $4,6$ 的动物的第 $2$ 个二进制位为 $1$，因此需要购买第 $4,5$ 种饲料。

由于在当前动物园中加入一种编号为 $0,2,3,5,7,8,\dots ,15$ 之一的动物，购物清单都不会改变，因此答案为 $13$。

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据，$k\le n\le 5$，$m\le 10$，$c\le 10$，所有的 $p_i$ 互不相同。
对于 $40\%$ 的数据，$n\le 15$，$k\le 20$，$m\le 20$，$c\le 20$。
对于 $60\%$ 的数据，$n\le 30$，$k\le 30$，$m\le 1000$。
对于 $100\%$ 的数据，$0\le n,m\le 10^6$，$0\le k\le 64$，$1\le c\le 10^8$。

样例分析

样例1

• 动物世界存在 $2^4$ 种不同的动物，编号为$0\sim 15$。
• 《饲养指南》有$3$个要求
  • 如果动物编号的二进制表示的第 $0$ 位为 $1$，需要购买第 $3$ 种饲料
  • 如果动物编号的二进制表示的第 $2$ 位为 $1$，需要购买第 $4$ 种饲料
  • 如果动物编号的二进制表示的第 $2$ 位为 $1$，需要购买第 $5$ 种饲料
• 动物园里的$3$种动物，编号为$1、4、6$，其二进制形式为0001、0100、0110，因此需要购买第$3、4、5$三种饲料。

在购买$3、4、5$三种饲料情况下，能饲养的动物为0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111，一共$16$种，已经饲养了其中$3$种，因此答案为$16-3=13$。

样例2

• 动物世界存在 $2^3$ 种不同的动物，编号为$0\sim 7$。
• 《饲养指南》有$2$个要求
  • 如果动物编号的二进制表示的第 $1$ 位为 $1$，需要购买第 $3$ 种饲料
  • 如果动物编号的二进制表示的第 $2$ 位为 $1$，需要购买第 $4$ 种饲料
• 动物园里的$2$种动物，编号为$1、2$，其二进制形式为001、010，因此只需要购买第$3$种饲料。

在只购买第$3$种饲料情况下，能饲养的动物为000、001、010、011，一共$4$种，已经饲养了其中两种，因此答案为$4-2=2$。

算法思想

• 根据动物园里饲养的 $n$ 种动物，可以得到已饲养的动物状态s1。例如样例1中饲养了$1、4、6$，那么$s1=(0111{)}_2$。
• 对于《饲养指南》第$i$个要求$(p_i，q_i)$：
  • 如果已饲养的动物状态s1的第$p_i$位为$0$，则没有购买该饲料，那么能够饲养的动物编号的第$p_i$位不能为$1$
  • 可以得到不能饲养的动物状态为s2。例如样例2中没有购买第$4$种饲料，不能饲养的动物状态$s2=(100{)}_2$
• 遍历$0\sim k-1$的每一位，检查当前位是否能够饲养。每一位代表两种动物，如果能够饲养，将答案数乘$2$。
• 最后从答案数中减去已经饲养的$n$只动物。

时间复杂度

$O(n)$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
int main()
{
    int n, m, c, k;
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &c, &k);
    ULL s1 = 0, s2 = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        ULL a;
        scanf("%llu", &a);
        s1 |= a; //计算已饲养的动物状态
    }
    while (m -- )
    {
        int p, q;
        scanf("%d%d", &p, &q);
        if((s1 >> p & 1) == 0) s2 |= 1ull << p; //不能饲养的动物状态 
    }
    ULL ans = 1;
    for(int i = 0; i < k; i ++)
    {
        if((s2 >> i & 1) == 0) ans <<= 1;
    }
    //注意：当ans=2^{64}，n=0时，直接输出会因unsigned long long溢出得到0
    if(n == 0 && ans == 0) puts("18446744073709551616"); //可以用计算器算一下2^{64}    
    else printf("%llu\n", ans - n);
    return 0;
}