【每周题解】道路与航线

题目描述

农夫约翰正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到 $T$ 个城镇，编号为 $1\sim T$。

这些城镇之间通过 $R$ 条道路 (编号为 $1$ 到 $R$) 和 $P$ 条航线 (编号为 $1$ 到 $P$) 连接。

每条道路 $i$ 或者航线 $i$ 连接城镇 $A_i$ 到 $B_i$，花费为 $C_i$。

对于道路，$0\le C_i\le 10,000$；然而航线的花费很神奇，花费 $C_i$ 可能是负数($-10,000\le C_i\le 10,000$)。

道路是双向的，可以从 $A_i$ 到 $B_i$，也可以从 $B_i$ 到 $A_i$，花费都是 $C_i$。

然而航线与之不同，只可以从 $A_i$ 到 $B_i$。

事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台了一些政策：保证如果有一条航线可以从 $A_i$ 到 $B_i$，那么保证不可能通过一些道路和航线从 $B_i$ 回到 $A_i$。

由于约翰的奶牛世界公认十分给力，他需要运送奶牛到每一个城镇。

他想找到从发送中心城镇 $S$ 把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案。

输入格式

第一行包含四个整数 $T,R,P,S$。

接下来 $R$ 行，每行包含三个整数（表示一个道路）$A_i,B_i,C_i$。

接下来 $P$ 行，每行包含三个整数（表示一条航线）$A_i,B_i,C_i$。

输出格式

第 $\mathrm{1..}T$ 行：第 $i$ 行输出从 $S$ 到达城镇 $i$ 的最小花费，如果不存在，则输出 NO PATH。

样例 #1

样例输入 #1

6 3 3 4
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10

样例输出 #1

NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100

提示

【数据范围】
$1\le T\le 25000$,
$1\le R,P\le 50000$,
$1\le A_i,B_i,S\le T$

算法思想

根据题目描述：

1. 道路是双向的，可以从A到B，也可以从B到A，花费都是C；而航线是单向的，只可以从A到B
2. 题目中保证如果有一条航线可以从A到B，那么保证不可能通过一些道路和航线从B回到A
3. 题目要求的就是起点到各个点的最短距离之和

显然是求单源最短路问题，但图中带有负权边，不能直接使用Dijkstra算法。考虑题目中给出的性质，双向边都是非负的，只有单向边可能是负的，并且单向边不构成环。

如果只把双向边添加到图中，那么会形成若干个连通块，可以把每个连通块看作一个点，再把单向边添加到图中，会得到一张有向无环图。在有向无环图中，无论边权正负，都可以按照拓扑序进行遍历，在线性时间复杂度内求出单源最短路。

算法流程

• 只把双向边加入图中，用深度优先遍历划分图中的连通块，记$c[u]$为节点$u$所属连通块的编号。
• 统计每个连通块的总入度，即$d[i]$为第$i$个连通块的总入度
• 建立一个队列，存储连通块的编号，用于拓扑排序。最初队列中包含所有入度为$0$的连通块编号。设$dis[S]=0$表示起点到自己的距离为0，其余点的初始化为无穷大。
• 取出队头的连通块$i$，对该连通块执行堆优化的Dijkstra算法，重复该步骤直至队列为空：
  1. 建立一个堆，把第$i$个连通块中所有节点加入堆中
  2. 从堆中取出$dis[u]$最小的节点$u$
  3. 若$u$被扩展过，则回到步骤$2$
  4. 遍历从$u$出发的所有边$(u,v,w)$，用$dis[u]+w$更新$dis[v]$
  5. 如果$u$和$v$在同一个连通块中，即$c[u]=c[v]$，并且$dis[v]$被更新，则将$v$插入堆中
  6. 若$c[u]\ne c[v]$，则令$d[c[v]]$减去$1$，如果减到$0$，则将$c[v]$插入拓扑排序的队列尾部。
  7. 重复$2\sim 6$，直至堆为空

时间复杂度

整个算法的时间复杂度为$O(T+P+RlogT)$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 25010, INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge
{
    int v, w;
};
vector<Edge> g[N];
int T, R, P, S, c[N], cnt, d[N], dis[N], st[N];
vector<int> b[N]; //存储每个连通块中的点
queue<int> q;
void dfs(int u, int k) //将与u连通的点加入第k个连通块
{
    c[u] = k; b[k].push_back(u); //将u加入k的连通块集合中
    for(Edge u : g[u])
    {
        int v = u.v;
        if(!c[v]) dfs(v, k);
    }
}
void dijkstra(int k)
{
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> h;
    //将连通块中所有点加入队列
    for(int u : b[k])
        h.push({dis[u], u});
    while(h.size())
    {
        PII t = h.top(); h.pop();
        int u = t.second;
        if(st[u]) continue;
        st[u] = 1;
        for(Edge e : g[u])
        {
            int v = e.v, w = e.w;
            //如果不在同一个连通块
            if(c[u] != c[v] && -- d[c[v]] == 0) q.push(c[v]);
            if(dis[v] > dis[u] + w) //能够缩短到v点的距离
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                if(c[u] == c[v]) //注意，如果u和v在同一个连通块，才加入堆中继续求最短距离
                    h.push({dis[v], v});
            }
        }
    }
}
void topsort()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[S] = 0;
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++) //将入度为0的连通块加入拓扑排序的队列中
    {
        if(!d[i]) q.push(i);
    }
    
    while(q.size())
    {
        int k = q.front(); q.pop();
        dijkstra(k); //求连通块中的最短路
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &T, &R, &P, &S);
    for(int i = 1; i <= R; i ++)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[u].push_back({v, w}), g[v].push_back({u, w});
    }
    for(int i = 1; i <= T; i ++) //处理连通块
         if(!c[i]) dfs(i, ++ cnt); //注意连通块的编号应从1开始
    
    for(int i = 1; i <= P; i ++)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[u].push_back({v, w});
        d[c[v]] ++; //v所在的连通块的入度增加1
    }
    
    topsort(); //拓扑排序，按照拓扑序计算最短路
    
    for(int i = 1; i <= T; i ++)
        if(dis[i] > INF / 2) puts("NO PATH");
        else printf("%d\n", dis[i]);
}