CSP-X2024山东小学组T2：消灭怪兽

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#青少年编程 #c++ #信息学竞赛

于 2024-11-15 11:22:34 首次发布

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CSP-X2024山东小学组T2：消灭怪兽

题目描述

怪兽入侵了地球！

为了抵抗入侵，人类设计出了按顺序排列好的 $n$ 件武器，其中第 $i$ 件武器的攻击力为 $a_i$ ，可以造成 $a_i$ 的伤害。

武器已经排列好了，因此不能改变顺序。某件武器可以单独攻击，也可以与相邻的武器进行组合攻击。

具体来说，每次你可以把相邻的若干个（可以为 $1$ 个，即不进行组合）连续
的武器组合起来进行攻击，则攻击力为这些连续的武器攻击力之和。

来自外星的怪兽拥有无敌护盾，不会受到任何伤害。但是人类在交战过程中发现怪兽有个致命的弱点：每次当受到 $k$ 或 $k$ 的倍数的伤害时，怪兽的无敌护盾就能被打破。

请你帮助人类求出有多少种组合武器的方案，使得造成的伤害能打破怪兽的无敌护盾。

输入格式

第一行两个正整数 $n, k$ 如题所述；第二行为 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 个数 $a_i$ 表示第 $i$ 件武器的攻击力。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例

样例输入 #1

5 3
1 2 3 4 5

样例输出 #1

样例输入 #2

10 11
1 4 8 10 16 19 21 25 30 43

样例输出 #2

样例输入 #3

6 2
2 2 2 2 2 2

样例输出 #3

提示

【样例1解释】
$k = 3$ ，而区间 [1, 2]，[1, 3]，[1, 5]，[2, 4]，[3, 3]，[3, 5]，[4, 5] 的区间
和均为 $3$ 或 $3$ 的倍数，故一共有 $7$ 种方案。

【数据范围】

20% 的数据， $n, k \leq 100$ ；
40% 的数据， $n, k ≤ 10000,1 ≤ a_i ≤ k$ ；
另外存在10% 的数据， $k = 2$ ；
另外存在10% 的数据，所有的 $a_i$ 均相等。
100% 的数据， $1 ≤ n ≤ 10^6$ , $2 ≤ k ≤ 10^6$ , $1 ≤ a_i ≤ 10^9$ 。

算法思想

朴素版前缀和

根据题目描述，只需要预处理出前缀和，然后枚举区间的开始位置 $L$ 和结束位置 $R$ ，判断 $S [R] - S [L - 1]$ 是否为 $k$ 的倍数就可以了。

时间复杂度

处理前缀和的时间复杂度为 $O (n)$
枚举开始和结束位置的时间复杂度为 $O(n^2)$

总的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，其中 $1 ≤ n ≤ 10^6$ ，可以拿到60分。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 5;
LL a[N], s[N];
int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) 
    { 
        cin >> a[i]; 
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= i; j ++)
        {
            LL x = s[i] - s[j - 1];
            if(x % k == 0) ans ++;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

算法优化

连续区间 $[L, R]$ 中所有数的和是 $11$ 的倍数，那么前缀和数组中 $S [R] - S [L - 1]$ 一定是 $11$ 的倍数，也就是说 $1])\ mod\ 11=0$ 。根据这个性质，不妨将前缀和数组中的每个值 $mod\ 11$ ，得到一个余数数组，如下图所示。
在这里插入图片描述
如果存在两个位置 $x$ 和 $y$ 余数相同，它们相减的差为 $0$ ，那么说明序列中区间 $[x + 1, y]$ 中所有数的和为 $11$ 的倍数。

这样，只需要统计一下，余数数组中值为 $i$ 的个数，不妨设有 $c n t$ 个，那么任意两个都可以构成一个区间，其中所有数为 $11$ 的倍数，那么对答案的贡献为： $cnt\times(cnt-1)/2$ 。

时间复杂度

处理前缀和的时间复杂度为 $O (n)$
遍历所有余数的时间复杂度为 $O (k)$

总的时间复杂度为 $O (n + k)$ ，其中 $1 ≤ n ≤ 10^6$ , $2 ≤ k ≤ 10^6$ 。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 5;
int a[N], s[N], cnt[N];
int main()
{
    
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    cnt[0] = 1;//注意，余数为0的情况要初始化为1
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> a[i];
        s[i] = (s[i - 1] + a[i]) % k;
        cnt[s[i]] ++;
    }
    
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < k; i ++)
    {
        if(cnt[i] > 1) //至少有两个余数为i的位置
        	ans += (LL) cnt[i] * (cnt[i] - 1) / 2; 
    }
    cout << ans << endl;
}