题目描述
小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。
旅游景点的地图共有 nnn 处地点,在这些地点之间连有 mmm 条道路。其中 111 号地点为景区入口,nnn 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 000 时刻,则从 000 时刻起,每间隔 kkk 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口,同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。
所有道路均只能单向通行。对于每条道路,游客步行通过的用时均为恰好 111 单位时间。
小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口,并沿着自己选择的任意路径走到景区出口,再乘坐旅游巴士离开,这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 kkk 的非负整数倍。由于节假日客流众多,小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动,而不想在任何地点(包括景区入口和出口)或者道路上停留。
出发前,小 Z 忽然得知:景区采取了限制客流的方法,对于每条道路均设置了一个“开放时间”aia _ iai,游客只有不早于 aia _ iai 时刻才能通过这条道路。
请帮助小 Z 设计一个旅游方案,使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。
输入格式
输入的第一行包含 3 个正整数 n,m,kn, m, kn,m,k,表示旅游景点的地点数、道路数,以及旅游巴士的发车间隔。
输入的接下来 mmm 行,每行包含 3 个非负整数 ui,vi,aiu _ i, v _ i, a_ iui,vi,ai,表示第 iii 条道路从地点 uiu _ iui 出发,到达地点 viv _ ivi,道路的“开放时间”为 aia _ iai。
输出格式
输出一行,仅包含一个整数,表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案,输出 -1
。
样例 #1
样例输入 #1
5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1
样例输出 #1
6
提示
【样例 #1 解释】
小 Z 可以在 333 时刻到达景区入口,沿 1→3→4→51 \to 3 \to 4 \to 51→3→4→5 的顺序走到景区出口,并在 666 时刻离开。
【样例 #2】
见附件中的 bus/bus2.in
与 bus/bus2.ans
。
【数据范围】
对于所有测试数据有:2≤n≤1042 \leq n \leq 10 ^ 42≤n≤104,1≤m≤2×1041 \leq m \leq 2 \times 10 ^ 41≤m≤2×104,1≤k≤1001 \leq k \leq 1001≤k≤100,1≤ui,vi≤n1 \leq u _ i, v _ i \leq n1≤ui,vi≤n,0≤ai≤1060 \leq a _ i \leq 10 ^ 60≤ai≤106。
测试点编号 | n≤n \leqn≤ | m≤m \leqm≤ | k≤k \leqk≤ | 特殊性质 |
---|---|---|---|---|
1∼21 \sim 21∼2 | 101010 | 151515 | 100100100 | ai=0a _ i = 0ai=0 |
3∼53 \sim 53∼5 | 101010 | 151515 | 100100100 | 无 |
6∼76 \sim 76∼7 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 111 | ai=0a _ i = 0ai=0 |
8∼108 \sim 108∼10 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 111 | 无 |
11∼1311 \sim 1311∼13 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 100100100 | ai=0a _ i = 0ai=0 |
14∼1514 \sim 1514∼15 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 100100100 | ui≤viu _ i \leq v _ iui≤vi |
16∼2016 \sim 2016∼20 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 100100100 | 无 |
算法思想(分层图最短路)
根据题目描述,小 Z 要从111号地点(景区入口)移动到nnn号地点(景区出口),这nnn个点之间一共有mmm条边,每条边的权值为111。除此之外,题目中还两个要求:
- 从入口出发的时间和到达出口的时间必须是kkk的倍数
根据第一个要求,在kkk比较小的情况下,可以使用分层图的思想把每个点拆分成kkk个状态,用dis[u][i]dis[u][i]dis[u][i]表示到达uuu点,并且花费时间满足mod k=imod\ k = imod k=i时的最早时刻,其中0≤i<k0\le i<k0≤i<k。那么到达景区入口的时间为dis[1][0]dis[1][0]dis[1][0],乘坐旅游巴士离开景区的最早时间就是dis[n][0]dis[n][0]dis[n][0]。
- 每条边均设置了一个“开放时间”aia _ iai,即只有不早于aia _ iai时刻才能通过这条道路
- 在数据范围中可以发现,存在特殊性质ai=0a _ i=0ai=0的情况,即所有道路都在000时刻开放,此时到达入口的时间越早越好,即dis[1][0]=0dis[1][0]=0dis[1][0]=0,然后求图中从点111到达点nnn的最短路即可。相邻点uuu和vvv的转移关系为dis[v][j]=dis[u][i]+1dis[v][j]=dis[u][i]+1dis[v][j]=dis[u][i]+1,其中j=(i+1)%kj = (i+1) \% kj=(i+1)%k
- 在ai≠0a _ i\ne 0ai=0的情况下,也可以借助上述求最短路的思想,不过从dis[u][i]dis[u][i]dis[u][i]转移到dis[v][j]dis[v][j]dis[v][j]时,需要判断如果当前道路尚未开放,那么到达时间将向后延长kkk的最小整数倍时间(可以理解为延后到达景区入口的时间),使得到达时间大于道路开放时间。
时间复杂度
- 使用堆优化版的Dijkstra求最短路,时间复杂度跟图中的边数和节点数相关
- 使用分层图的思想把每个点拆分成kkk个状态,那么一共有n×kn\times kn×k个状态
时间复杂度为m×log(nk)m\times log(nk)m×log(nk)
代码实现
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 10010, K = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;
struct Node {
//u节点编号,i状态,d最短到达时间
int u, i, d;
//重载 < ,用于大顶堆按到达时间从小到大排序
bool operator < (const Node t) const
{
return d > t.d;
}
};
vector<PII> g[N]; //邻接表
/*
dis[u][i]表示到达第u处地点,并且到达时间mod k = i的情况下的最短距离
*/
int dis[N][K], st[N][K];
int main()
{
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
for(int i = 0; i < m; i ++)
{
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
g[u].push_back({v, w}); //从u到v建一条边,权值为开放时间
}
//初始状态,1号点在状态0时最短距离为0,其它点的最短距离为无穷大
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
dis[1][0] = 0;
//堆优化版Dijkstra求最短路,注意默认大顶堆,自定义比较规则
priority_queue<Node> q;
//初始状态加入优先队列,{点,状态,最短到达时间}
q.push({1, 0, dis[1][0]});
while(q.size())
{
//节点u,状态i
int u = q.top().u, i = q.top().i;
q.pop();
if(st[u][i]) continue; //该状态已经加入到集合中
st[u][i] = 1;
for(auto [v, w] : g[u]) //枚举邻接点v和道路的开放时间
{
int t = dis[u][i], j = (i + 1) % k;
//如果到达时间小于开放时间,则将到达时间向后延长若干个k的整数倍(向上取整)
if(t < w) t += (w - t + k - 1) / k * k;
//如果可以松弛到v点的时间
if(dis[v][j] > t + 1)
{
dis[v][j] = t + 1;
q.push({v, j, dis[v][j]});
}
}
}
if(dis[n][0] == INF) cout << -1;
else cout << dis[n][0];
return 0;
}