CSP-J2023入门组第二轮T4:旅游巴士

小Z在国庆期间打算参观一处景点,景区采用旅游巴士运营,每k单位时间发车。小Z需要找到一条在巴士开放时间内从1号入口到n号出口的路径,使得离开景区时间尽可能早。题目涉及分层图最短路算法,要求输出最早离开景区的时刻。样例解释和算法思路包括开放时间的判断和利用堆优化的Dijkstra算法求解。

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题目描述

小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

旅游景点的地图共有 nnn 处地点,在这些地点之间连有 mmm 条道路。其中 111 号地点为景区入口,nnn 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 000 时刻,则从 000 时刻起,每间隔 kkk 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口,同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

所有道路均只能单向通行。对于每条道路,游客步行通过的用时均为恰好 111 单位时间。

小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口,并沿着自己选择的任意路径走到景区出口,再乘坐旅游巴士离开,这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 kkk 的非负整数倍。由于节假日客流众多,小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动,而不想在任何地点(包括景区入口和出口)或者道路上停留

出发前,小 Z 忽然得知:景区采取了限制客流的方法,对于每条道路均设置了一个“开放时间”aia _ iai,游客只有不早于 aia _ iai 时刻才能通过这条道路。

请帮助小 Z 设计一个旅游方案,使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

输入格式

输入的第一行包含 3 个正整数 n,m,kn, m, kn,m,k,表示旅游景点的地点数、道路数,以及旅游巴士的发车间隔。

输入的接下来 mmm 行,每行包含 3 个非负整数 ui,vi,aiu _ i, v _ i, a_ iui,vi,ai,表示第 iii 条道路从地点 uiu _ iui 出发,到达地点 viv _ ivi,道路的“开放时间”为 aia _ iai

输出格式

输出一行,仅包含一个整数,表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案,输出 -1

样例 #1

样例输入 #1

5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1

样例输出 #1

6

提示

【样例 #1 解释】

小 Z 可以在 333 时刻到达景区入口,沿 1→3→4→51 \to 3 \to 4 \to 51345 的顺序走到景区出口,并在 666 时刻离开。

【样例 #2】

见附件中的 bus/bus2.inbus/bus2.ans

【数据范围】

对于所有测试数据有:2≤n≤1042 \leq n \leq 10 ^ 42n1041≤m≤2×1041 \leq m \leq 2 \times 10 ^ 41m2×1041≤k≤1001 \leq k \leq 1001k1001≤ui,vi≤n1 \leq u _ i, v _ i \leq n1ui,vin0≤ai≤1060 \leq a _ i \leq 10 ^ 60ai106

测试点编号n≤n \leqnm≤m \leqmk≤k \leqk特殊性质
1∼21 \sim 212101010151515100100100ai=0a _ i = 0ai=0
3∼53 \sim 535101010151515100100100
6∼76 \sim 76710410 ^ 41042×1042 \times 10 ^ 42×104111ai=0a _ i = 0ai=0
8∼108 \sim 1081010410 ^ 41042×1042 \times 10 ^ 42×104111
11∼1311 \sim 13111310410 ^ 41042×1042 \times 10 ^ 42×104100100100ai=0a _ i = 0ai=0
14∼1514 \sim 15141510410 ^ 41042×1042 \times 10 ^ 42×104100100100ui≤viu _ i \leq v _ iuivi
16∼2016 \sim 20162010410 ^ 41042×1042 \times 10 ^ 42×104100100100

算法思想(分层图最短路)

根据题目描述,小 Z 要从111号地点(景区入口)移动到nnn号地点(景区出口),这nnn个点之间一共有mmm条边,每条边的权值为111。除此之外,题目中还两个要求:

  1. 从入口出发的时间和到达出口的时间必须是kkk的倍数

根据第一个要求,在kkk比较小的情况下,可以使用分层图的思想把每个点拆分成kkk个状态,用dis[u][i]dis[u][i]dis[u][i]表示到达uuu点,并且花费时间满足mod k=imod\ k = imod k=i时的最早时刻,其中0≤i<k0\le i<k0i<k。那么到达景区入口的时间为dis[1][0]dis[1][0]dis[1][0],乘坐旅游巴士离开景区的最早时间就是dis[n][0]dis[n][0]dis[n][0]

  1. 每条边均设置了一个“开放时间”aia _ iai,即只有不早于aia _ iai时刻才能通过这条道路
  • 在数据范围中可以发现,存在特殊性质ai=0a _ i=0ai=0的情况,即所有道路都在000时刻开放,此时到达入口的时间越早越好,即dis[1][0]=0dis[1][0]=0dis[1][0]=0,然后求图中从点111到达点nnn的最短路即可。相邻点uuuvvv的转移关系为dis[v][j]=dis[u][i]+1dis[v][j]=dis[u][i]+1dis[v][j]=dis[u][i]+1,其中j=(i+1)%kj = (i+1) \% kj=(i+1)%k
  • ai≠0a _ i\ne 0ai=0的情况下,也可以借助上述求最短路的思想,不过从dis[u][i]dis[u][i]dis[u][i]转移到dis[v][j]dis[v][j]dis[v][j]时,需要判断如果当前道路尚未开放,那么到达时间将向后延长kkk的最小整数倍时间(可以理解为延后到达景区入口的时间),使得到达时间大于道路开放时间。

时间复杂度

  • 使用堆优化版的Dijkstra求最短路,时间复杂度跟图中的边数和节点数相关
  • 使用分层图的思想把每个点拆分成kkk个状态,那么一共有n×kn\times kn×k个状态

时间复杂度为m×log(nk)m\times log(nk)m×log(nk)

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 10010, K = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;

struct Node {
    //u节点编号,i状态,d最短到达时间
    int u, i, d; 
    //重载 < ,用于大顶堆按到达时间从小到大排序
    bool operator < (const Node t) const
    {
        return d > t.d;
    }
};

vector<PII> g[N]; //邻接表
/*
dis[u][i]表示到达第u处地点,并且到达时间mod k = i的情况下的最短距离
*/
int dis[N][K], st[N][K];
int main()
{
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back({v, w}); //从u到v建一条边,权值为开放时间
    }
    //初始状态,1号点在状态0时最短距离为0,其它点的最短距离为无穷大
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[1][0] = 0; 
    //堆优化版Dijkstra求最短路,注意默认大顶堆,自定义比较规则
    priority_queue<Node> q;
    //初始状态加入优先队列,{点,状态,最短到达时间}
    q.push({1, 0, dis[1][0]}); 
    while(q.size())
    {
    	//节点u,状态i
        int u = q.top().u, i = q.top().i;
        q.pop();
        if(st[u][i]) continue; //该状态已经加入到集合中
        st[u][i] = 1; 
        for(auto [v, w] : g[u]) //枚举邻接点v和道路的开放时间
        {
            int t = dis[u][i], j = (i + 1) % k;
            //如果到达时间小于开放时间,则将到达时间向后延长若干个k的整数倍(向上取整)
            if(t < w) t += (w - t + k - 1) / k * k;
            //如果可以松弛到v点的时间
            if(dis[v][j] > t + 1)
            {
                dis[v][j] = t + 1;
                q.push({v, j, dis[v][j]});
            }
        }
    }
    if(dis[n][0] == INF) cout << -1;
    else cout << dis[n][0];
    return 0;
}
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