递推算法题解:错排问题

这篇博客探讨了如何计算n封信全错装信封的情况,通过递推公式f(n) = (f(n-1) + f(n-2)) * (n-1),并给出了C++和Python代码实现,结果模1000031。

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问题描述

某人写了nnn封信,并且有nnn个信封,如果所有的信都装错了信封,那么会有多少种不同的情况?

注意,结果可能很大,需要输出其模100003100003100003的结果。

输入格式

输入一个正整数nnn

输出格式

输出错排的方案总数。

输入样例

3

输出样例

2

数据范围

1<=n<=1051<=n<=10^51<=n<=105

算法思想(递推)

状态表示

用状态f(n)f(n)f(n)表示nnn封信的错排方案数。

递推公式

要完成nnn封信的错排、计算f(n)f(n)f(n)的方案数,可以分成下面两种情况:

  • 将其中n−1n-1n1封信进行错排,然后从中挑出一封信和第nnn封信进行交换,即完成nnn封信的错排。此时方案数为:f(n−1)×(n−1)f(n - 1) \times (n - 1)f(n1)×(n1)
  • 将其中n−2n-2n2封信进行错排,然后把剩下的一封信和第nnn封信进行交换,也可以完成nnn封信的错排。此时方案数为:f(n−2)×(n−1)f(n - 2) \times (n - 1)f(n2)×(n1)

因此得到递推公式:f(n)=(f(n−1)+f(n−2))×(n−1)f(n) = (f(n - 1) + f(n - 2)) \times (n - 1)f(n)=(f(n1)+f(n2))×(n1)

初始状态

  • 111封信的错排方案数为000,即f(1)=0f(1) = 0f(1)=0
  • 222封信的错排方案数为111,即f(2)=1f(2) = 1f(2)=1

代码实现(cpp)

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010, mod = 100003;
int f[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    f[1] = 0, f[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; i++)
        f[i] = (long long)(f[i - 1] + f[i - 2]) * (i - 1) % mod;
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}

代码实现(python)

n = int(input())
f = {}
f[1] = 0
f[2] = 1
for i in range(3, n + 1):
    f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) * (i - 1) % 100003
print(f[n])
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