问题描述
某人写了nnn封信,并且有nnn个信封,如果所有的信都装错了信封,那么会有多少种不同的情况?
注意,结果可能很大,需要输出其模100003100003100003的结果。
输入格式
输入一个正整数nnn。
输出格式
输出错排的方案总数。
输入样例
3
输出样例
2
数据范围
1<=n<=1051<=n<=10^51<=n<=105
算法思想(递推)
状态表示
用状态f(n)f(n)f(n)表示nnn封信的错排方案数。
递推公式
要完成nnn封信的错排、计算f(n)f(n)f(n)的方案数,可以分成下面两种情况:
- 将其中n−1n-1n−1封信进行错排,然后从中挑出一封信和第nnn封信进行交换,即完成nnn封信的错排。此时方案数为:f(n−1)×(n−1)f(n - 1) \times (n - 1)f(n−1)×(n−1)
- 将其中n−2n-2n−2封信进行错排,然后把剩下的一封信和第nnn封信进行交换,也可以完成nnn封信的错排。此时方案数为:f(n−2)×(n−1)f(n - 2) \times (n - 1)f(n−2)×(n−1)
因此得到递推公式:f(n)=(f(n−1)+f(n−2))×(n−1)f(n) = (f(n - 1) + f(n - 2)) \times (n - 1)f(n)=(f(n−1)+f(n−2))×(n−1)
初始状态
- 111封信的错排方案数为000,即f(1)=0f(1) = 0f(1)=0
- 222封信的错排方案数为111,即f(2)=1f(2) = 1f(2)=1
代码实现(cpp)
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010, mod = 100003;
int f[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
f[1] = 0, f[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; i++)
f[i] = (long long)(f[i - 1] + f[i - 2]) * (i - 1) % mod;
cout << f[n] << endl;
return 0;
}
代码实现(python)
n = int(input())
f = {}
f[1] = 0
f[2] = 1
for i in range(3, n + 1):
f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) * (i - 1) % 100003
print(f[n])