对错排递推式的理解

错排问题与递推式的推导：

错排递推式：D[n]=(n-1)(D[n-1]+D[n-2])
说明：
有一个形象的例子可以说明何为错排：十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？
将问题推广便得到错排问题，也就是求使N个数全不在自己位置上的方法数。令Dn代表N种不同物品错排的方法数，那么这个错排公式该如何推导呢？
我们令1—–N这N个数最初顺序摆放在他们原有的位置：（也就是最初完全有序）
推导：
想要求N个数错排，可以这样考虑：
当加入第N个数，对第N个数进行错排时，我们假设把他放到K位置上（1<=K<=n-1），此时的N已经完成错排，K有两种去向：

（1）K放到N的位置上，相当于K与N二者互换位置完成错排。因为二者位置已经固定，因此错排的结果也就是N-2个元素错排的结果：D[N-2];

（2）K不放在N的位置上。因为N的位置已经固定，因此我们无需再考虑N（此时K还没有地方放，自己的位置被占了，N的位置也不能去）。因为K不能放在N处，所以我们可以把N处看作K的初始位置，对于除了N的其他元素来说，他们全在自己的初始位置，因此要进行错排：D[N-1];

又因为N有(N-1)个位置可选，因此最后结果要乘以（N-1）
这样我们就得出了错排递推式：
                           D[n] =(n-1)*(D[n-1]+D[n-2])