蓝桥杯青少年创意编程大赛题解：超级素数

题目描述

在大于 $1$ 的自然数中，除了 $1$ 和它本身以外不再有其他因数的数，被称为素数，又叫质数。超级素数是指一个素数，每去掉最后面的一个数字，总能保证剩下的数依然为素数。比如 “$373$” 就是一个超级素数，去掉个位的 “$3$” 后，“$37$” 依然是素数；继续去掉 “$37$” 个位的 “$7$” 后，“$3$” 还是素数。

输入格式

输入一个整数 $n$($10\le n\le 10^8$) 。

输出格式

输出一个数，表示所有小于等于 $n$ 的超级质因数个数。

输入样例1

30

输出样例1

6

样例1解释

有 2 3 5 7 23 29 共$6$ 个数满足条件

输入样例2

50

输出样例2

8

样例2解释

有2 3 5 7 23 29 31 37 共 88 个数满足条件。

算法思想

暴力枚举（70分）

可以通过线性筛素数法将所有不超过$n$的素数求出，然后枚举每个素数，判断是否符合超级素数的性质。

时间复杂度

$O(10^8)$，最终70分，TLE。

DFS

分析超级素数的性质，会发现最高位只能由素数$2、3、5、7$组成，其余各位只能从是奇数$1、3、7、9$中选择，因此可以使用DFS构造所有满足性质的超级素数。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int ans;
int a[] = {2, 3, 5, 7}, b[] = {1, 3, 7, 9};
int n;

bool check(int x)
{
    if(x == 1) return false;
    
    for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
    {
        if(x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

void dfs(int x)
{
    if(x > n) return;
    ans ++;
    for(int i = 0; i < 4; i ++)
        if(check(x * 10 + b[i]))
            dfs(x * 10 + b[i]);
}

int main()
{
    cin >> n;
     for(int i = 0; i < 4; i ++)
         dfs(a[i]);        
    cout << ans << endl;    
    return 0;
}