动态规划----切割钢条

动态规划方法通常用来求解最优化问题。动态规划算法设计步骤：

1. 刻画一个最优解的结构特征。
2. 递归定义最优解的值。
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

带备忘的自顶向下法：此方法仍按自然的递归形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或散列表中）。当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间；否则，按通常方式计算这个子问题。

自底向上法：这种方法一般需要恰当定义子问题“规模”的概念，使得任何子问题的求解都依赖于“更小的”子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小至大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需要求解一次，当我们求解它（也是第一次遇到它）时，它的所有前提子问题都已求解完成。

问题：公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。

假定我们知道公司出售一段长度i英寸的钢条的价格为pi（i=1，2，...，单位为美元）。钢条的长度均为整英寸。图给出了一个价格表的样例。

长度 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
价格 Pi 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30

我们将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩下的n-i的一段继续进行切割，对左边的一段不再进行切割。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int CUT_ROD(int *p, int n)
{
	if (n == 0)
		return 0;
	int q = -1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		q = max(q, p[i] + CUT_ROD(p, n - i));
	return q;
}

int main()
{
	cout << "请输入钢条的长度(1<=n<=10)：";
	int n;
	int p[11] = { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };
	while (cin >> n)
	{
		cout << "最大收益为：" << CUT_ROD(p, n) << endl;
		cout << "继续？（y/n）:";
		char ch;
		cin >> ch;
		if (ch == 'y')
		{
			cout << "请输入钢条的长度(1<=n<=10)：";
			continue;
		}
		else
			break;
	}
	cout << __DATE__ << "  " << __TIME__ << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：

请输入钢条的长度(1<=n<=10)：10
最大收益为：30
继续？（y/n）:y
请输入钢条的长度(1<=n<=10)：9
最大收益为：25
继续？（y/n）:y
请输入钢条的长度(1<=n<=10)：8
最大收益为：22
继续？（y/n）:n
Aug 24 2016  12:36:31
请按任意键继续. . .

在这个递归过程中，CUT_ROD会反复求解相同的子问题，因此当这个递归过程展开的时候，它的工作量会爆炸性的增长！对于长度为n的钢条，CUT_ROD显然考察了所有2^（n-1）中可能的切割方案！动态规划应该仔细安排求解顺序，对每个子问题只求解一次，并将结果保存下来。

带备忘录的自顶而下的方法：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int CUT_ROD2(int *p, int n, int *r)
{
	if (r[n] != -1)
		return r[n];
	if (n == 0)
		return 0;
	int q = -1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		q = max(q, p[i] + CUT_ROD2(p, n - i, r));
	r[n] = q;
	return q;
}

int main()
{
	cout << "请输入钢条的长度(1<=n<=10)：";
	int n;
	int p[11] = { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };
	while (cin >> n)
	{
		int *r = new int[n+1];//备忘录
		memset(r, -1, sizeof(int)*(n + 1));
		cout << "最大收益为：" << CUT_ROD2(p, n, r) << endl;
		cout << "继续？（y/n）:";
		char ch;
		cin >> ch;
		if (ch == 'y')
		{
			cout << "请输入钢条的长度(1<=n<=10)：";
			continue;
		}
		else
			break;
		free(r);
	}
	cout << __DATE__ << "  " << __TIME__ << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果和上一题一样！

自底向上版本：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int CUT_ROD3(int *p, int n, int *r)
{
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int q = -1;
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
		{
			q = max(q, p[j] + r[i - j]);
		}
		r[i] = q;
	}
	return r[n];
}

int main()
{
	cout << "请输入钢条的长度(1<=n<=10)：";
	int n;
	int p[11] = { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };
	while (cin >> n)
	{
		int *r = new int[n + 1];//备忘录
		memset(r, 0, sizeof(int)*(n + 1));
		cout << "最大收益为：" << CUT_ROD3(p, n, r) << endl;
		cout << "继续？（y/n）:";
		char ch;
		cin >> ch;
		if (ch == 'y' || ch == 'Y')
		{
			cout << "请输入钢条的长度(1<=n<=10)：";
			continue;
		}
		else
			break;
		free(r);
	}
	cout << __DATE__ << "  " << __TIME__ << endl;
	system("pause");
	return 0;
}