动态规划-钢条切割

问题描述

钢条切割问题

Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。假定我们知道Serling公司出售一段长为i英寸的钢条的价格为pi(i=1,2,…，单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。图15-1给出了一个价格表的样例。

钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1,2,…n)，求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。注意，如果长度为n英寸的钢条的价格pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

问题分析

由于该问题满足有最优子结构和无后效性的条件，所以我们使用DP（动态规划）来解决。

状态变量与状态转移方程的定义

状态变量可以用二维数组储存，一个维度是钢条的长度，另一个是钢条最后一刀切在哪，由此可推出状态转移方程式：
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][i-j]+p[j])
(1<=i<=n,1<=j<=i)

状态变量与状态转移方程的优化

由于要节省空间复杂度，可以利用一维的滚动数组进行存储，状态转移方程也变成了这样：
dp[i]=max(dp[i],dp[i-j]+p[j])
(1<=i<&