leetcode----714. 买卖股票的最佳时机含手续费 双dp[1]

本文介绍了一种在考虑交易手续费的情况下,求解股票买卖最大利润的动态规划算法。通过递归方程,算法实现了O(n)的时间复杂度,适用于大规模数据处理。示例中给出了具体的操作步骤和代码实现。

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给定一个整数数组 prices,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ;非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易,但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

  • 0 < prices.length <= 50000.
  • 0 < prices[i] < 50000.
  • 0 <= fee < 50000.

思路:有点像二路合并,但是根据数据量,必须是O(n)算法。

//dp1[i]表示第i天手上有股票赚的钱(到手的),dp2[i]表示第i天手上没有股票,递归方程:

//dp1[i] = max(dp1[i-1], dp2[i-1] - prices[i]) (第二项表示在第i天买入股票)
//dp2[i] = max(dp2[i-1], dp1[i-1] + prices[i] - fee) (第二项表示在第i天将股票卖出,需扣除手续费)

 

class Solution {
	public:
//dp1[i]表示第i天手上有股票,dp2[i]表示第i天手上没有股票,递归方程:

//dp1[i] = max(dp1[i-1], dp2[i-1] - prices[i]) (第二项表示在第i天买入股票)
//dp2[i] = max(dp2[i-1], dp1[i-1] + prices[i] - fee) (第二项表示在第i天将股票卖出,需扣除手续费)
		int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {

			int n=price.size();
			vector<int> dp1(n,0);
			vector<int> dp2(n,0);
			dp1[0]=-1;
			dp2[0]=0;
			for(int i=1; i<n; i++) {
				dp1[i] = max(dp1[i-1], dp2[i-1] - prices[i]);
				dp2[i] = max(dp2[i-1], dp1[i-1] + prices[i] - fee);
			}
			return max(dp1[n-1],dp2[n-1]);
		}
};

 

<think>嗯,用户想解决买卖股票最佳时机问题2,也就是LeetCode上的题目122。我需要先明确这个问题的具体要求。根据引用中的信息,问题允许无限次买卖,但必须在再次购前卖出之前的股票。用户想了解算法实现,特别是动态规划和贪心算法,以及时间复杂度和代码示例。 首先,动态规划方法。对于股票问题,通常的状态定义是持有或不持有股票。根据引用[1]中的状态转移方程,我需要定义两个状态数组,比如dp[i][0]表示第i天不持有股票的最大利润,dp[i][1]表示持有。状态转移的话,不持有的情况可能是前一天也不持有,或者前一天持有今天卖出;持有的情况可能是前一天就持有,或者今天入。但问题2允许多次交易,所以入的时候需要考虑之前的利润。比如,dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]),因为每次入可以基于之前卖出后的利润。这样初始化的话,第一天不持有是0,持有是-prices[0]。然后遍历每一天,最后返回最后一天不持有的利润。时间复杂度是O(n),空间复杂度可以优化到O(1)吗?因为只需要前一天的记录。 然后是贪心算法。根据引用[5],问题2允许当天卖出后入,所以只要今天比昨天高,就累加利润。比如,价格序列是[1,3,5],那么3-1和5-3的和等于5-1,所以可以分解成每天的利润差,取正的。这样,总利润就是所有正差值的和。时间复杂度O(n),空间O(1),代码也很简单。 然后需要检查引用中的内容是否正确。引用[2]提到贪心可能不是最优,但在这个问题中,贪心确实可以得到最优解,因为可以分解交易。引用[5]中的问题1是用动态规划或贪心,问题2的贪心策略不同。用户可能需要代码示例,所以得写出两种方法的代码,并说明时间复杂度和空间复杂度。 最后生成相关问题,比如比较贪心和动态规划,其他变种问题,或者时间空间优化。确保引用正确,比如引用[1]中的动态规划处理多次交易,引用[2]关于贪心与动态规划的比较,引用[5]中的贪心思路。需要确认问题2是否允许当天买卖,比如问题122允许当天卖出再入,所以贪心可行。</think>### 买卖股票最佳时机问题 II 解答 **问题描述**:给定股票每日价格数组$prices$,允许进行多次买卖操作(但必须在再次购前卖出之前的股票),求最大利润。 #### 一、算法实现与时间复杂度分析 ##### 1. 贪心算法 **核心思想**:只要今天的价格比昨天高,就进行入卖出操作,将多次上涨的利润累加。 **时间复杂度**:$O(n)$,仅需一次遍历 **空间复杂度**:$O(1)$ ```python def max_profit_greedy(prices): profit = 0 for i in range(1, len(prices)): if prices[i] > prices[i-1]: profit += prices[i] - prices[i-1] return profit ``` **证明有效性**: 将多次上涨的利润累加等价于在波峰卖出、波谷入的总利润,例如$[1,3,5]$的利润为$(3-1)+(5-3)=4$,与直接$5-1=4$结果一致[^5]。 ##### 2. 动态规划 **核心思想**:定义两种状态: - $dp[i][0]$:第$i$天不持有股票的最大利润 - $dp[i][1]$:第$i$天持有股票的最大利润 **状态转移方程**: $$ \begin{cases} dp[i][0] = \max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]) \\ dp[i][1] = \max(dp[i-1][1], dp[i-0][0] - prices[i]) \end{cases} $$ **初始条件**: $$ dp[0][0] = 0, \quad dp[0][1] = -prices[0] $$ **时间复杂度**:$O(n)$ **空间复杂度优化**:可简化为$O(1)$,仅需保存前一天的两种状态 ```python def max_profit_dp(prices): hold = -prices[0] not_hold = 0 for price in prices[1:]: prev_hold = hold hold = max(hold, not_hold - price) not_hold = max(not_hold, prev_hold + price) return not_hold ``` #### 二、算法对比 | 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |------|------------|------------|----------| | 贪心 | $O(n)$ | $O(1)$ | 允许无限次交易时最优[^5] | | 动态规划 | $O(n)$ | $O(1)$ | 可扩展至交易次数限制问题(如问题III、IV)[^1] | #### 三、选择建议 - **贪心算法**:优先使用,简单高效且结果正确[^2] - **动态规划**:当问题增加交易次数限制或状态依赖复杂时使用(如手续费、冷冻期)[^1] ---
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