数学归纳法 Mathematical Induction
–摘自Discrete Mathematics and Its Applications
数学归纳法原理
为了证明对于所有正整数nnn,P(n)P(n)P(n)为真,其中P(n)P(n)P(n)为命题函数,可以分为以下两步:
- 基本步BASIC STEP:证明P(1)P(1)P(1)为真
- 归纳步INDUCTIVE STEP:证明对于所有正整数k,条件表述P(k)→P(k+1)P(k)\rightarrow P(k+1)P(k)→P(k+1)为真。这一步的证明是应用归纳假设,即,假设P(k)P(k)P(k)为真。
数学归纳法证明的模板
- 对于固定整数bbb,将需要证明的表述的形式表示为对于所有n≥b,P(n)n \geq b,P(n)n≥b,P(n)。这里整数bbb可以为负整数、零和正整数。
- 基本步,证明P(n)P(n)P(n)为真
- 归纳步,对于所有k≥bk \geq bk≥b,假设P(n)P(n)P(n)为真
- 写出P(n+1)P(n+1)P(n+1)的表述
- 使用P(n)P(n)P(n)为真,来证明P(n+1)P(n+1)P(n+1)为真
- 写明完成归纳法证明,比如“归纳法证毕”
- 表述结论,如“通过使用数学归纳法,对于所有n≥bn \geq bn≥b的正整数bbb,P(n)P(n)P(n)均成立。