使用FFT进行快速FIR滤波

最新推荐文章于 2025-04-15 18:56:36 发布

大饼博士_cqqian

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分类专栏：数字信号处理文章标签：数字信号处理

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本文详细介绍了如何利用傅里叶变换（FFT）加速有限冲击响应（FIR）滤波器的计算，通过Overlap-and-Save和Overlap-and-Add两种方法实现长序列的卷积。这两种技术基于频域乘法定理，通过在时域上零填充输入序列和滤波器系数，进行FFT运算，然后在频域进行乘法和逆FFT，有效减少了计算复杂度。Overlap-and-Save适用于输出序列长度固定的场合，而Overlap-and-Add则适合处理连续的输入数据流。通过对不同FFT尺寸的选取，可以在计算效率和资源消耗之间找到平衡。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

摘自<Understanding Digital Signal Processing>第三版，13.10 Fast FIR Filtering Using the FFT一节

基于的理论：频域上的乘积等效于时域上的卷积。

基本的计算流程，如下图所示。

在这里插入图片描述

将输入信号 $x (n)$ 和滤波器参数 $h (k)$ 分别进行FFT，得到 $X (m)$ 和 $H (m)$ ，在频域上进行乘积，然后，进行IFFT。

对于 $Q - t a p$ 的FIR滤波器，其标准的卷积方程为
$y(n)=\sum ^{Q-1} _{k=0} {h(k)x(n-k)}=h(k)*x(n)$
假设 $h (k)$ 的长度为 $Q$ ， $x (n)$ 的长度为 $P$ ，则最终输出的 $y (n)$ 的长度为 $L = Q + P - 1$ .

为了使快速卷积技术能得到有效的结果，前向和逆FFT的尺寸必须等于或大于 $L$ ，因此， $N - p o i n t$ 的FFT尺寸为 $N≥LN\ge L$ ，并对 $h (k)$ 和 $x (n)$ 进行 $z e r o - p a d$ ，使其长度等于 $N$ 。所需要的输出 $y (n)$ 为逆FFT的前 $L$ 个样本的实数部分。关于滤波器参数的FFT只需计算一次并存储下来即可。

当输出序列长度太大，必须进行分段处理时，有两种处理方法： $o v e r l a p - a n d - s a v e$ 和 $o v e r l a p - a n d - a d d$ 。

Overlap-and-save

具体流程，如下图所示。

在这里插入图片描述

对于给定的FIR滤波器的脉冲响应 $h (k)$ 的长度为 $Q$ ，输入序列 $x (n)$ 的长度为 $P$ ，具体步骤：

选择FFT的尺寸为 $N$ ，其中 $N$ 为2的指数，约等于4倍 $Q$ ；
在 $h (k)$ 的末端增加 $(N - Q)$ 个零值样本，进行 $N - p o i n t$ 的FFT，生成复序列 $H (m)$ ;
计算整数M， $M = N - (Q - 1)$ ；
在 $x (n)$ 的前 $M$ 样本之前插入 $(Q - 1)$ 个零值样本，创建 $N - p o i n t$ 的FFT的输入序列 $x_1(n)$ ；
对 $x_1(n)$ 进行 $N - p o i n t$ 的FFT计算，并乘以 $H (m)$ ，然后，对乘积进行 $N - p o i n t$ 的逆FFT。去掉逆FFT结果的前 $(Q - 1)$ 个样本，生成 $M - p o i n t$ 的输出 $y_1(n)$ ；
将 $x_1(n)$ 的前 $(Q - 1)$ 个零值样本增加到第二个原始长度为M的 $x (n)$ 的开头部分，创建第二个 $N - p o i n t$ 的FFT输入序列 $x_2(n)$ ；
对 $x_2(n)$ 进行 $N - p o i n t$ 的FFT计算，并乘以 $H (m)$ ，然后，进行逆FFT，去除前 $(Q - 1)$ 个样本，生成第二个M点的输出数据 $y_2(n)$ ；
重复步骤6-7，直至处理完整个输入序列。
将生成的 $y_1(n),y_2(n),y_3(n),....$ 进行串联合并，生成最终的线性卷积滤波器的输出序列 $y (n)$ 。
可以试验不同的 $N$ 值，看是否存在一个最优的 $N$ 使得你的硬件和软件实现的计算载荷最小。不过，在任何情况下， $N$ 必须不小于 $(M + Q - 1)$ 。

Overlap-and-add

具体流程，如下图所示。

在这里插入图片描述

对于这种方法，输入序列 $x (n)$ 被分段成长度为 $M$ 的数据片段，数据的overlap发生在逆FFT计算。对于给定的FIR滤波器的脉冲响应 $h (k)$ 的长度为 $Q$ ，输入序列 $x (n)$ 的长度为 $P$ ，具体步骤：

选择FFT尺寸为 $N$ ，其中 $N$ 为2的指数，约等于2倍的Q；
在 $h (k)$ 的末端增加 $(N - Q)$ 个零值样本，进行 $N - p o i n t$ 的FFT，生成复序列 $H (m)$ ;
计算整数M， $M = N - (Q - 1)$ ；
在原始序列 $x_1(n)$ 的前 $M$ 样本末端增加 $(Q - 1)$ 个零值样本，创建 $N - p o i n t$ 的FFT的输入序列 $x_1(n)$ ；
对 $x_1(n)$ 进行 $N - p o i n t$ 的FFT计算，并乘以 $H (m)$ ，然后，对乘积进行 $N - p o i n t$ 的逆FFT。并保留前 $M$ 个样本，生成 $M$ 样本的输出数据 $y_1(n)$ ；
在第二个原始序列 $x_2(n)$ 的前 $M$ 样本末端增加 $(Q - 1)$ 个零值样本，创建 $N - p o i n t$ 的FFT的输入序列 $x_2(n)$ ；
对第二个 $N - p o i n t$ 的输入序列进行FFT计算，并乘以 $H (m)$ ，然后，对乘积进行 $N - p o i n t$ 的逆FFT。将上一步的逆FFT的最后 $Q - 1$ 个样本增加到当前逆FFT序列的开头的 $Q - 1$ 个样本上。保留 $Q - 1$ 个样本相加过程的结果序列中的开头的 $M$ 个样本作为输出数据 $y_2(n)$ ;
重复步骤6-7，直至处理完整个数据序列。
将生成的 $y_1(n),y_2(n),y_3(n),....$ 进行串联合并，生成最终的线性卷积滤波器的输出序列 $y (n)$ 。
可以试验不同的 $N$ 值，看是否存在一个最优的 $N$ 使得你的硬件和软件实现的计算载荷最小。不过，在任何情况下， $N$ 必须不小于$