CF1217E Sum Queries

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本文详细解析了CF1217E: SumQueries?的题意，提供了针对不平衡多重集求最小值的高效算法思路。通过定义平衡多重集的概念，介绍了如何查询最小的两个非零数之和来解决区间内不平衡情况的问题。使用了段树数据结构进行优化，并附带完整的C++代码实现。

CF1217E Sum Queries?

题意

我们这样定义一个多重集是平衡的:

对于sum的每一个数位，多重集中至少有一个元素与sum此数位相同

修改a数组中一个位置的值
询问一个区间中所有不平衡多重集的sum的最小值

思路

在一个数位若要达成平衡

一个数该位为0-9,其他数该位为0
产生进位，使出现相同

第二种方式是不可能的，若第i位产生进位，则第i+1位也必须产生进位，否则无法达成平衡

最高位也必然会进位，那么进位的那一位就无法达成平衡了

所以不平衡的情况即为该位上有两个非0的数

对于每次询问，我们查询每个数为最小的两个非零数的和，即为最小集

查询最小的两个数，可以直接将节点定义为该区间最小的两个数

代码

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e5 + 5;
const int inf = 2e9 + 5;
int a[maxn], b[maxn];
typedef pair<int, int> pii;
pii merge(const pii& a, const pii& b)
{
    return a.first < b.first ? (a.second < b.first ? a : make_pair(a.first, b.first)) : (b.second < a.first ? b : make_pair(b.first, a.first));
}
struct Tree {
    pii tree[maxn << 2];
    void build(int root, int left, int right)
    {
        if (left == right) {
            if (a[left] % 10 == 0)
                tree[root] = make_pair(inf, inf);
            else
                tree[root] = make_pair(b[left], inf);
            a[left] /= 10;
            return;
        }
        int mid = (left + right) >> 1;
        build(root << 1, left, mid);
        build(root << 1 | 1, mid + 1, right);
        tree[root] = merge(tree[root << 1], tree[root << 1 | 1]);
    }
    void update(int root, int left, int right, int x)
    {
        if (left == right) {
            if (a[left] % 10 == 0)
                tree[root] = make_pair(inf, inf);
            else
                tree[root] = make_pair(b[left], inf);
            a[left] /= 10;
            return;
        }
        int mid = (left + right) >> 1;
        if (x <= mid)
            update(root << 1, left, mid, x);
        else
            update(root << 1 | 1, mid + 1, right, x);
        tree[root] = merge(tree[root << 1], tree[root << 1 | 1]);
    }
    pii query(int root, int left, int right, int stdl, int stdr)
    {
        if (left >= stdl && right <= stdr)
            return tree[root];
        int mid = (left + right) >> 1;
        pii res = make_pair(inf, inf);
        if (stdl <= mid)
            res = merge(res, query(root << 1, left, mid, stdl, stdr));
        if (stdr > mid)
            res = merge(res, query(root << 1 | 1, mid + 1, right, stdl, stdr));
        return res;
    }
} T[9];

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i];
    }
    for (int i = 0; i < 9; i++)
        T[i].build(1, 1, n);
    int opt, x, y;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &opt, &x, &y);
        if (opt == 1) {
            a[x] = b[x] = y;
            for (int j = 0; j < 9; j++)
                T[j].update(1, 1, n, x);
        } else {
            int ans = inf;
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                pii cnt = T[j].query(1, 1, n, x, y);
                if (cnt.second == inf || cnt.first == inf)
                    continue;
                ans = min(ans, cnt.first + cnt.second);
            }
            if (ans == inf)
                printf("-1\n");
            else
                printf("%d\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}