【数据结构与算法/组合数学】出栈序列的个数问题详解

假设有一个入栈序列$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，现在求它有多少种出栈序列。

例如，对于入栈序列$1,2,3$，我们有$5$种出栈序列：
$①3,2,1$：push 1,push 2,push 3,pop 3,pop 2,pop 1
$②2,3,1$：push 1,push 2,pop 2,push 3,pop 3,pop 1
$③1,3,2$：push 1,pop 1,push 2,push 3,pop 3,pop 2
$④1,2,3$：push 1,pop 1,push 2,pop 2,push 3,pop 3
$⑤2,1,3$：push 1,push 2,pop 2,pop 1,push 3,pop 3

现在我们考虑对任意$n$的情况。令$f(i)$代表长度为$i$的序列的出栈序列个数。则我们要求的就是$f(n)$。

显然，$f(0)=f(1)=1$，因为没有元素和只有一个元素的时候都只有一种顺序。有$n$个元素时，问题太大，我们采用分而治之的思想，递归求解。考虑入栈的第一个元素$a_1$在出栈序列中的位置。设$a_1$是第$j$个出栈的，则$a_2\sim a_j$