动态规划之n个元素出栈顺序种数

探讨n个元素进栈后的出栈顺序问题,通过动态规划方法分析不同顺序的可能性。引入Catalan数,解析递推公式f(n) = Σ(f(i) * f(n-i)) (i从0到n-1),并给出程序代码实现。

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  1. 问题描述
    n个元素依次进栈,共有多少种出栈顺序?
  2. 算法分析
    1个元素进栈,有1种出栈顺序;2个元素进栈,有2种出栈顺序;3个元素进栈,有5种出栈顺序
    我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出:

                                 f(1) = 1     //即 1
                                 f(2) = 2     //即 12、21
                                 f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231
    

    然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑:元素a只可能出现在1号位置,2号位置,3号位置和4号位置(很容易理解,一共就4个位置,比如abcd,元素a就在1号位置)。
    分析:

    1) 如果元素a在1号位置,那么只可能a进栈,马上出栈,此时还剩元素b、c、d等待操作,就是子问题f(3);
    2) 如果元素a在2号位置,那么一定有一个元素比a先出栈,即有f(1)种可能顺序(只能是b),还剩c、d,即f(2), 根据乘法原理,一共的顺序个数为f(1) * f(2);
    3) 如果元素a在3号位置,那么一定有两个元素比1先出栈,即有f(2)种可能顺序(只能是b、c),还剩d,即f(1),
    根据乘法原理,一共的顺序个数为f(2) * f(1);
    4) 如果元素a在4号位置,那么一定是a先进栈,最后出栈,那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解,即 f(3);
    结合所有情况,即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
    为了规整化,我们定义f(0) = 1;于是f(4)可以重新写为:
    f(4) = f(0)f(3) + f(1)*f(2) + f(2) f(1) + f(3)*f(0)
    然后我们推广到n,推广思路和n=4

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