【高等数学笔记】f(x)=(x-1)(x-2)²(x-3)³(x-4)⁴的拐点是？

前置知识：
定理（Leibniz公式） 设$u=u(x)$，$v=v(x)$都是$n$阶可导的，则$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$
那么我们有：
推论 设$f(x)=g(x)(x-a{)}^n$在$a$的邻域$U(a)$内$n$阶可导，其中$g(x)$在$U(a)$内不为$0$，则$f^{(k)}(a)=0$（$k=1,2,\dots ,n-1$），$f^{(n)}(a)\ne 0$。
证明：令$h(x)=(x-a{)}^n$，则$h^{\prime }(x)=\frac{\text{d}h(x)}{\text{d}(x-a)}\cdot \frac{\text{d}(x-a)}{\text{d}x}=n(x-a{)}^{n-1}$。由此不难推出$h^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!}(x-a{)}^{n-k}$（$k=1,2,\dots ,n$）。根据Leibniz公式，$f^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^m{C}_m^k{g}^{(m-k)}(x)h^{(k)}(x)$。
当$m=n$时，$h^{(n)}(x)\equiv n!$，$f^{(n)}(a)=C_n^{n}g(x)n!\ne 0$。
当$m<n$时，$\forall i=1,2,\dots ,m$，有$h^{(i)}(a)=0$，所以$f^{(m)}(a)$的每一项都为$0$，故$f^{(m)}(a)=0$。∎

根据这个推论，题目中的$f(x)=g(x)(x-3{)}^3$，其中$g(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-4{)}^4$在某$U(3)$内不为$0$，于是$f^{\prime }(3)=f^{\prime \prime }(3)=0$，$f^{\prime \prime \prime }(3)\ne 0$，符合拐点的条件，因此$(3,0)$是拐点。而$1,2,4$均不符合条件。