10、数学算法：连分数、平方根与随机数生成

数学算法：连分数、平方根与随机数生成

连分数生成算法

连分数是一种特殊的分数表示形式，任何数都可以用连分数来表示。下面我们将详细介绍连分数的生成算法。

整数分数的连分数展开

以(105/33)为例，我们的目标是将其表示为如下形式：
[
\frac{105}{33} = a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \cdots}}}
]
具体步骤如下：
1. 将(105/33)看作除法问题，(105\div33 = 3\cdots\cdots6)，可将(105/33)重写为(3 + 6/33)，由此可知(a = 3)。
2. 接下来需要求解剩余部分，即(\frac{6}{33} = \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \cdots}}})，两边取倒数得到(\frac{33}{6} = b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \cdots}})。
3. 对(33\div6)进行计算，(33\div6 = 5\cdots\cdots3)，可将(33/6)重写为(5 + 3/6)，所以(b = 5)。
4. 继续简化(3/6 = 1/2)，此时余数为(0)，算法结束。最终(\frac{105}{33} = 3 + \frac{1}{5 + \frac{1}{2}})。

这个过程与欧几里得算法类似，欧几里得算法记录的是最后一个非零余数，而连分数生成算法记录的是每一步的商。

以下是用Python实现的连分数生成算法：