【培训题】医院设置[1] | 树的结点带权重心

最新推荐文章于 2025-01-05 20:11:24 发布

Steve_Junior

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分类专栏：高二复习 - 2016 Mr. He 原创树

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本文介绍了如何通过数学优化方法解决医院选址问题，以最小化所有居民到医院的总路程。具体涉及树的节点权重重心概念，包括两种算法实现：换根思想和寻找树的重心。通过实例解析，展示了算法的应用和效果。

【问题描述】
阆中市管辖了n个乡镇（编号为1~n），有n-1条公路把他们连接起来，每条公路的长度均为单位长度。其中第i个乡镇有人口数量为Wi。
市政府打算在这n个乡镇中选择一个建立一所医院，使所有镇民到医院的所走路程总和最小。
例如，下图中有5个乡镇，每个圈表示一个乡镇，圈外的数字表示该乡镇编号，圈里的数字表示该乡镇的人口数量。
医院应建立在乡镇3，所有人走的路程总和为：13*1+4*2+20*1+40*1=81

【输入格式】
第一行包含 1 个整数 n，表示乡镇数量（编号为1~n）。
接下来 n-1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数 u、 v，表示编号为 u 和编号为 v 的乡镇之间有一条公路相连。
最后 1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示编号为 i 的乡镇的人口数量为 Wi

【输出格式】
第一行包含若干整数，表示可以建立医院的乡镇编号（由小到大输出）。第二行一个整数，表示所有人行程总和。

【输入样例】

5
1 2
1 3
3 4
3 5
13 4 12 20 40

【输出样例】

3
81

【数据范围】
对于 30%的数据， 1 < n ≤ 100；
对于 60%的数据， 1 < n ≤ 2000；
对于 100%的数据， 1 < n ≤ 200 ,000，0 < Wi ≤ 10 ,000。

代码：
算法一：换根思想

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#define maxn 200005
using namespace std;

int n,popu[maxn];
vector<int>g[maxn];

void init()
{
    scanf("%d",&n);
    int x,y;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&popu[i]);
    }
}

bool vis[maxn];
int fa[maxn],sum[maxn],dist[maxn];
long long cost[maxn];

void DFS(int i)
{
    vis[i]=true;
    sum[i]=popu[i];
    cost[i]=0;
    for(int k=0;k<g[i].size();k++)
    {
        int j=g[i][k];
        if(vis[j]) continue;
        DFS(j);
        sum[i]+=sum[j];
        cost[i]+=cost[j]+sum[j];
    }
}

void BFS(int i)
{
    queue<int>q;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(i);
    vis[i]=true;

    while(!q.empty())
    {
        int i=q.front(); q.pop();
        for(int k=0;k<g[i].size();k++)
        {
            int j=g[i][k];
            if(vis[j]) continue;
            cost[j]=cost[i]-sum[j]+(sum[1]-sum[j]);
            q.push(j);
            vis[j]=true;
        }
    }
}

void solve()
{
    init();
    DFS(1);
    BFS(1);
    long long minc=cost[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        minc=min(minc,cost[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(minc==cost[i]) printf("%d ",i);
    }
    printf("\n");
    cout<<minc<<"\n";
}

int main()
{
    solve();
    return 0;
}

算法二：找树的重心

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#define maxn 200005
using namespace std;

int n,popu[maxn],tot=0;
vector<int>g[maxn];

void init()
{
    scanf("%d",&n);
    int x,y;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&popu[i]);
        tot+=popu[i];
    }
}

bool vis[maxn];
int fa[maxn],sum[maxn],dist[maxn],maxsum[maxn];
long long cost[maxn];

void DFS(int i)
{
    vis[i]=true;
    sum[i]=popu[i];
    cost[i]=0;
    for(int k=0;k<g[i].size();k++)
    {
        int j=g[i][k];
        if(vis[j]) continue;
        DFS(j);
        sum[i]+=sum[j];
        maxsum[i]=max(maxsum[i],sum[j]);
        cost[i]+=cost[j]+sum[j];
    }
    maxsum[i]=max(maxsum[i],tot-sum[i]);
}

void solve()
{
    init();
    DFS(1);
    int sum_min=tot,x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(maxsum[i]<sum_min)
        {
            sum_min=maxsum[i];
            x=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(maxsum[i]==sum_min)
        {
            printf("%d ",i);
        }
    }
    printf("\n");
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    DFS(x);
    cout<<cost[x]<<endl;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    solve();
    return 0;
}