Transformer——Q132 验证Sophia优化器的曲率感知更新规则

该问题归类到Transformer架构问题集——训练与优化——优化器。请参考LLM数学推导——Transformer架构问题集。

1. 问题背景

在大语言模型（LLM）的训练过程中，优化器的选择直接影响着模型的训练效率、收敛速度以及最终性能。随着 LLM 的规模不断扩大，参数数量从百万级增长到数十亿甚至上百亿，传统的优化器，如 Adam、SGD 等，在面对复杂的损失函数地形时逐渐暴露出局限性。

传统优化器通常只考虑梯度信息来更新参数，例如 SGD 根据当前梯度的方向和大小直接更新参数，Adam 则通过计算梯度的一阶矩和二阶矩来调整学习率。然而，损失函数的地形并非简单的碗状结构，在 LLM 训练中，存在大量的鞍点、平坦区域和尖锐极小值点。在鞍点处，梯度接近于零，传统优化器可能会误以为找到了最优解而停止更新；在平坦区域，梯度较小，参数更新缓慢，导致训练效率低下；而在尖锐极小值点附近，过大的更新步长可能使模型陷入局部最优，无法找到全局最优解。

为了应对这些挑战，Sophia 优化器应运而生。它引入了曲率感知更新规则，旨在利用损失函数的曲率信息，更智能地调整参数更新方向和步长，从而提高 LLM 训练的效率和效果。

2. 技术原理

曲率的概念与意义

在数学中，曲率用于描述曲线或曲面的弯曲程度。在损失函数的背景下，曲率反映了损失函数在某一点处的变化速率。高曲率区域意味着损失函数变化剧烈，参数的微小变化可能导致损失的大幅波动；而低曲率区域则表示损失函数变化平缓，参数更新相对安全。

对于一个多维的损失函数，其中