Transformer——Q126 证明对抗训练损失（Adversarial Loss）的Lipschitz连续性约束

该问题归类到Transformer架构问题集——训练与优化——损失函数。请参考LLM数学推导——Transformer架构问题集。

1. 问题背景

在人工智能领域不断发展的今天，大语言模型（LLM）凭借强大的语言理解与生成能力，广泛应用于智能问答、文本创作、翻译等场景。然而，这些模型如同脆弱的 “玻璃巨人”，面对精心设计的对抗样本时，表现会出现断崖式下跌。比如在智能客服系统中，攻击者可能通过对正常提问添加微小语义扰动，让模型输出错误答案，这不仅影响用户体验，更在金融、医疗等关键领域埋下安全隐患。

对抗训练作为提升模型鲁棒性的 “利器”，通过引入对抗样本让模型在 “实战演练” 中增强防御能力。而对抗训练损失则是衡量这场 “演练成果” 的核心指标。但在优化过程中，损失函数的剧烈波动会导致训练失控，就像汽车失去方向盘。Lipschitz 连续性约束就如同给损失函数套上 “缰绳”，限制其变化幅度，确保训练稳定收敛，同时让模型面对微小输入变化时，输出变化可控，从而提升鲁棒性与泛化能力。

2. 技术原理与数学理论

2.1 对抗训练基础

对抗训练的灵感源自生成对抗网络（GAN）的 “博弈哲学”，但在对抗训练场景中，“战场” 转移到了模型的鲁棒性提升上。这里有两位 “对手”：主模型（判别器）和攻击模型（生成器）。攻击模型如同 “狡猾的黑客”，针对原始样本 x 和主模型 （ 为模型参数），试图找到微小扰动 ，在满足 （ 限制扰动大小）的条件下，让主模型 输出错误结果。而主模型则像 “防御卫士”，努力在原始样本与对抗样本上都精准预测，通过最小化对抗训练损失来升级自己的 “防御装备”（更新参数） 。

2.2 对抗训练损失定义

常见的对抗训练损失函数是原始样本损失与对抗样本损失的 “加权融合”，公式为