LLM大模型中的基础数学工具——泛函分析

Q42: 证明 Lipschitz 连续性  对梯度下降的影响

Lipschitz 连续性对梯度下降的影响是啥？

Lipschitz 连续性给函数变化设定了一个 “速度上限”，数学上用  表示，L 是这个上限值。它对梯度下降的影响在于：梯度是函数变化率的极限，此性质确保，为梯度下降的步长选择提供依据，保证算法稳定收敛，避免迭代时 “步子” 过大跳过最小值或过小导致收敛缓慢。

证明过程

当  时，对  两边除以  并取极限，可得 。对于凸函数，梯度下降更新公式为 。若步长 ，则能保证收敛。这是因为 L 限制了梯度的最大值，在该步长范围内，迭代可稳定向最小值靠近，不会发散。

在 LLM 中的使用

训练大语言模型（如 Transformer）时，若损失函数满足 Lipschitz 连续性，可避免梯度爆炸，使参数更新更稳定。例如依据该性质调整学习率上限，确保模型在训练过程中能有效学习，防止因个别样本的梯度异常导致优化方向偏差。

代码示例

import numpy as np  

# 定义满足Lipschitz连续的函数 \( f(x) = 2x \)，\( L = 2 \)  
def f(x):  
    re