LLM大模型中的基础数学工具——数值逼近

最新推荐文章于 2025-12-03 17:07:06 发布

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Q37: 分析泰勒展开 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a) 的截断误差上界

泰勒展开与截断误差是啥？
泰勒展开是用多项式近似表示函数的方法，一阶泰勒展开 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a) 用线性项近似原函数。但它忽略了高阶项，这些被忽略的部分就是截断误差。从几何角度看，这相当于用函数在 a 点的切线近似函数曲线，曲线与切线的偏差就是误差。

分析推导过程
根据泰勒定理，若 f(x) 在包含 a 的区间内二阶可导，则 $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(\xi)}{2!}(x - a)^2$ （ $\xi$ 介于 a 与 x 之间）。截断误差 $R_1(x) = \frac{f''(\xi)}{2}(x - a)^2$ 。若能确定 $|f''(\xi)|$ 在区间 [a,x] 上的最大值 M，则误差上界为 $|R_1(x)| \leq \frac{M}{2}(x - a)^2$ 。例如，对于 $f(x) = e^x$ ， $f''(x) = e^x$ ，在区间 [0,x] 上 $M = e^x$
，因此误差上界为

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