LLM大模型中的基础数学工具—— 梯度优化

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#深度学习 #人工智能 #机器学习 #梯度优化

Q23: 推导梯度下降 x_{t+1} = x_t - \eta \nabla f(x_t)的收敛条件（Lipschitz 连续假设）

梯度下降与 Lipschitz 连续是啥？

梯度下降是一种常用的优化算法，就像在山上找下山的路，每一步都沿着坡度（梯度）最陡的反方向走，公式 x_{t+1} = x_t - \eta \nabla f(x_t)中，\eta 是每步走的 “步长”。但如果步长太大，可能会跳过山谷，Lipschitz 连续假设就像是给下山的速度设了个 “限速”，即 \|\nabla f(x) - \nabla f(y)\| \leq L \|x - y\|（L 是常数），确保函数值不会突然大幅变化。

推导过程

利用泰勒展开式 f(x_{t+1}) = f(x_t - \eta \nabla f(x_t)) \approx f(x_t) - \eta \|\nabla f(x_t)\|^2 + \frac{\eta^2 L}{2} \|\nabla f(x_t)\|^2。要保证每一步都在 “下山”(f(x_{t+1}) < f(x_t))，整理可得 - \eta + \frac{\eta^2 L}{2} \leq - \frac{\eta}{2}，解这个不等式得出 

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大模型训练中梯度消失和爆炸的解决方案
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在人工智能的世界里，有一个词低调但无处不在，那就是 梯度。不懂数学，可以搞得懂梯度么？肯定搞的明白，梯度说白了就是模型训练中的一个指南牌，用来指示后续的训练过程。 无论是几十个参数的小模型，还是动辄千亿参数的大模型，梯度都是它们成长路上不可或缺的“导航员。只有依赖梯度，才能找到最终目的。 很多人觉得梯度听起来很数学，其实它和我们下山找路、老师批改作业，没什么本质区别。今天，就带你用最直观的方式理解：梯度到底是什么？为什么它能让大模型学会“聪明”？
【大模型LLM】大模型训练加速 - 梯度累积（Gradient Accumulation）原理详解
weixin_43988131的博客
07-28 1176
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例如，训练中某层参数陷入鞍点，SGD 利用样本梯度随机性，使更新方向偏离鞍点。如在文本生成任务中，若模型生成重复文本（可能因参数在鞍点附近），SGD 的逃离特性推动参数更新，改善生成效果。例如，医疗文本分类微调，损失函数局部近似凸，牛顿法利用二阶信息，比 SGD 更快优化。即使初始在鞍点附近，噪声使梯度非零，参数更新逃离鞍点，类似 LLM 训练中 SGD 借助噪声逃离鞍点。，模拟一次更新，计算 s、y，用 SR1 更新 B，验证其对称及拟牛顿条件，展示 LLM 优化中近似 Hessian 的作用。
LLM大模型中的基础数学工具——微分方程
墨顿随笔
04-22 943
比如，在一些基于欧拉思想改进的优化策略里，根据这个条件调整步长，防止训练时参数更新像脱缰的野马一样发散，确保训练稳稳地朝着好的方向前进。比如，有些高级优化算法借鉴了隐式的思想，虽然每次计算要解方程组（有点麻烦），但稳定性超棒，特别适合处理 LLM 那种复杂的损失函数曲面，防止训练时像坐过山车一样震荡，让训练更平稳。可以看到，误差从 1.0 降到了 0.25，说明隐式格式能有效控制误差，就像给误差戴上了 “紧箍咒”，特别适合 LLM 这种对稳定性要求高的训练场景。（h 是步长，就像每次前进的 “一小步”）。
LLM大模型中的基础数学工具——张量运算
墨顿随笔
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张量这东西，你就把它当作一种超厉害的数组，能用来表示各种各样维度的数据。比如说，单独一个数，像 5，这就是 0 - 阶张量，也就是我们平常说的标量；要是一条有方向、有长度的线，用数组 [2, 3] 这样表示出来，这就是 1 - 阶张量，也就是向量；一个像表格一样的数据，比如 [[1, 2], [3, 4]] ，这就是 2 - 阶张量，也就是矩阵。而更高阶的张量呢，能表示更为复杂的多维数据。张量缩并，简单来讲，就是对张量进行的一种操作，核心就是把张量的某些指标加起来，这样就能让张量的阶数降低。就拿。
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模型训练梯度指的是什么？5分钟轻松理解，无需数学公式
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机器学习模型训练中，模型和梯度是什么？
ayamee的博客
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预训练语言模型是自然语言处理中广泛使用的技术，通过在大规模语料上进行无监督的预训练，然后将模型微调到特定的下游任务。批归一化是一种常用的正则化技术，用于加快神经网络的训练并提高模型的稳定性。它可以减少梯度消失和梯度爆炸的问题。层归一化与批归一化类似，但不同的是，批归一化是在批次维度上进行归一化，而层归一化是在特征维度上进行归一化。在微调过程中，模型基于特定任务的数据进行进一步训练，以提升在该任务上的表现。剪枝是一种减少神经网络模型大小的技术，它通过移除冗余的神经元或权重来减少计算需求，同时保持模型的精度。
梯度下降在大模型训练中的作用与实现
yuanmomoya的博客
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