JZOJ 3526. 【NOIP2013模拟11.7A组】不等式(solve)

3526. 【NOIP2013模拟11.7A组】不等式(solve)

(File IO): input:solve.in output:solve.out
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Description

小z热衷于数学。

今天数学课的内容是解不等式：L<=S*x<=R。小z心想这也太简单了，不禁陷入了深深的思考：假如已知L、R、S、M，满足L<=(S*x)mod M<=R的最小正整数x该怎么求呢？

Input

第一行包含一个整数T，表示数据组数，接下来是T行，每行为四个正整数M、S、L、R。

Output

对于每组数据，输出满足要求的x值，若不存在，输出-1。

Sample Input

1

5 4 2 3

Sample Output

2

Data Constraint

30%的数据中保证有解并且答案小于等于10^6；

另外20%的数据中保证L=R；

100%的数据中T<=100，M、S、L、R<=10^9。

题解

这道题网上有很多一样的题解，看了好久才明白，其实这题就是用类欧思想

题目所给的式子是

$$L\le (S*x)\ mod\ M\le R$$

显然，若存在一个$x$满足$L \le S*x \le R$，那么答案就是$x$

如果不存在，转化题目那条式子

$$L\le (S*x)\ mod\ M\le R$$

$$\Rightarrow L \le S*x-M*y \le R$$

$$\Rightarrow -R \le M*y-S*x \le -L$$

$$\Rightarrow (-R\ mod\ S) \le (M*y)\ mod\ S \le (-L\ mod\ S)$$

若能求出$y$，那么自然$x$就知道了，因为区间$[L,R]$中没有$x$的倍数

然后我们就可以用类欧几里得来求解了
之所以叫类欧，是因为欧几里得算法是用$gcd(b,a\ mod\ b)$来求$gcd(a,b)$

这题也类似
定义$x=dfs(M,S,L,R)$，那么$y=dfs(M,S,-R\ mod\ S+S,-L\ mod\ S+S)$
于是
$x=R+\lfloor \dfrac{M*y}{S} \rfloor$

边界条件好多，具体可以看代码

代码

#include<cstdio>

long long dfs(long m,long s,long l,long r)
{   long long x,y;
    if(l==0)return 0;
    if(l>=m||l>r||s%m==0)return -1;
    s%=m;
    x=((l-1)/s)+1;
    if(x*s<=r)
        return x;
    y=dfs(s,m,(-r)%s+s,(-l)%s+s);
    if(y==-1)return -1;
    x=(r+m*y)/s;
    if(s*x-m*y>=l)return (x%m+m)%m;
    else return -1;
}

int main()
{   long tot,m,s,l,r;
    freopen("solve.in","r",stdin);
    freopen("solve.out","w",stdout);
    scanf("%ld",&tot);
    while(tot--){
        scanf("%ld%ld%ld%ld",&m,&s,&l,&r);
        if(r>=m)r=m-1;
        printf("%lld\n",dfs(m,s,l,r));
    }
    return 0;
}