信息学奥赛一本通——1316：【例4.6】数的计数(Noip2001)

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题目：

【题目描述】

我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一个自然数n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理：

不作任何处理；

在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；

加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。

【输入】

自然数n(n≤1000)

【输出】

满足条件的数。

【输入样例】

6

【输出样例】

6

【提示】

【样例解释】

满足条件的数为如下所示：

   6
  16
  26
 126
  36
 136

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思路：

这是一道递归题。废话，这道题都在递归的标签里

那要怎么做呢？

我们想一下，6的方案总数是多少呢？

是1 + 3的方案总数 + 2的方案总数 + 1的方案总数

为什么呢？

首先，6是不是本身就是一个方案？为什么？因为我们可以不作任何处理

所以，首先要加1

为什么要加3的方案总数呢？

因为6的前面可以加上3，3还可以继续往前加上2、1

加上3会多出多少种方案？当然是3的方案总数种

同样的道理，我们还需要加上2的方案总数、1的方案总数

因此，我们可以找出递推式：

f(n)=1+   f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n/2)

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代码：

知道思路，代码就很好写了

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)//解释一下，这个东西叫O3优化，可以帮助我们加速代码 
using namespace std;
int main(){
	long long dp[1010];//用数组dp来存储某个数的方案总数
	//dp[i]表示i的方案总数 
	dp[1]=1;//1的方案总数为1 
	int n;
	cin>>n;//读入 
	for(int i=2;i<=n;i++){
	//解释一下为什么循环要从2到n，因为我们算2加到n/2需要知道2、3、……n/2的方案总数
	//所以我们需要从2算到n，这样才能正确算出n的方案总数 
		long long cnt=1;//因为6本身就是6的一种方案，所以直接加1 
		for(int j=1;j<=i/2;j++){//从1加到i/2 
			cnt+=dp[j];//加起来 
		}
		dp[i]=cnt;//cnt就是i的方案总数，所以直接存起来
		//我们用数组存储结果，可以避免超时 
	}
	cout<<dp[n];//输出答案 
    return 0;
}

没听懂可以在评论区问，或者问chatGPT

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