【力扣hot100】 312. 戳气球（区间dp）

一、题目

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 
这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

示例 2：
输入：nums = [1,5]
输出：10
 
提示：
n == nums.length
1 <= n <= 300
0 <= nums[i] <= 100

二、思路

一开始就确定了是动态规划，但找不到切入的角度。想了二十分钟，怎么将这个问题拆为小问题。

猜测在中间取小，最后戳两边，尝试后才发现被自己做成贪心了。

于是看了题解，大多是用三重for循环，外两层控制区间，里一层枚举最后戳哪个

即从后往前推，例如：

先取区间（0，2），中间只有nums[1]，所以只能最后戳nums[1]，计算得出结果后max取大存入dp[0][2]。

然后再取区间（0，3），中间有nums[1]和nums[2]，假设最后戳nums[1]，则结果为dp[0][1]+dp[1][3]+nums[0]*nums[1]*nums[2]（前两者一者没有此情况，一者在上次循环就已经被计算）；假设最后戳nums[2]，则结果为dp[0][2]+dp[2][3]+nums[0]*nums[2]*nums[3]（同理）。

这样就能逐步扩大区间，并在每个区间找到最大值。

三、尝试

通过的测试用例：12 / 73

完全错误的思路，属于是猜规律了。在情况不断变化的情况下，肯定是动态规划，而非贪心

class Solution {
private:
    int _min;
    int sum=0;
public:
    int dp(vector<int>& nums,int n){
        if(n<=2){
            if(n==0) return 0;
            else if(n==1) sum+=1*nums[0]*1;
            else if(n==2) sum+=1*nums[0]*nums[1]+1*nums[1]*1;
            return sum;
        }
        else{
            _min=1;
            for(int i=2;i<n-1;i++){
                if(nums[_min]<=nums[i]) continue;
                else _min=i;
            }
            sum+=nums[_min-1]*nums[_min]*nums[_min+1];
            nums.erase(nums.begin()+_min);
            return dp(nums,n-1);
        }
    }
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        return dp(nums,nums.size());   
    }
};

四、题解

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        nums.insert(nums.begin(),1);
        nums.push_back(1);
        dp=vector<vector<int>>(nums.size(),vector<int>(nums.size(),0));
        for(int left=nums.size()-2;left>=0;left--){
            for(int right=left+1;right<=nums.size()-1;right++){
                for(int last=left+1;last<right;last++){
                    dp[left][right]=max(dp[left][last]+dp[last][right]+nums[left]*nums[last]*nums[right],dp[left][right]);
                }
            }
        }
        return dp[0][nums.size()-1];
    }
};