利用费马小定理进行素性测试

最新推荐文章于 2024-01-30 10:14:45 发布

VLoye

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分类专栏：算法文章标签：算法

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本文介绍如何利用费马小定理结合高精度算法、高精度求余和快速幂，来高效地测试一个数是否为素数。通过解决一道算法题，讨论了在大整数运算中可能出现的溢出问题以及解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

利用费马小定理进行素性测试

Description

给出一个整数N，请利用费马小定理（Fermat’s Little Theorem）测试该数是否素数。
Input

多测试用例。每个测试用一行：一个正整数N （ 3 ≤ N ≤ 9223372036854775807 ，N的范围就是 long long 的范围。注意：本OJ不支持__int64这种类型，所以，如果要用 __int64类型，可直接把它改为 long long类型。__int64的输入输出用 %I64d ，long long的输入输出用%lld ）
Output

每个测试用例输出一行结果：如果N是素数，输出yes，否则，输出no 。
Sample Input

127
5
67
68
Sample Output

yes
yes
yes
no

一开始的思路，只用了费马小定理的代码，递归次数太多了，如果数太大需要耗费很长时间才能计算出结果。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>


//费马小定理
long long fermat(long long a,long long n,long long m)
{
    //递归出口
    if(m==0)return 1;
    else if(m==1)
        return a;
    //递归
    else{
        if(m%2==0)
            return (fermat(a,n,m/2)%n*fermat(a,n,m/2)%n)%n;
        else
            return ((fermat(a,n,m/2)%n*fermat(a,n,m/2)%n)%n*a)%n;
    }
}


int main(void)
{
    long long n,a=0;
    scanf("%lld",&n);
    while(n>=3&&n<=9223372036854775807)
    {
        srand((unsigned)time(NULL));

        //生成一个足够大的随机数（64位）
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            a=a+rand();
            a=a<<16;
        }
        //求n的模
        a=a%n;
        if(a<2)a=2;


        if(fermat(a,n,n-1)==1)
            printf("yes\n");
        else
            printf("no\n");
        scanf("%lld",&n);

    }
    return 0;
}

对于这道题，如果单纯只用费马小定理的话来做这道算法的话呢，理论是可以的，但是时间复杂度太高,计算一个大的数时需要很长时间，所以出现了Time Limit Exceeded。所以不得不再去研究如何去设计一种可以快速得出结果的算法。（研究了好几天还是没有头绪，最后还是去请教了一位已经AC过这道题的师兄-.-）

师兄给出了做这道题的思路，对于这道题他使用一种高效又准确的算法，通过整合费马小定理+高精度算法+高精度求余+快速幂这几个算法来实现。首先我们先来了解一下什么是费马小定理、高精度算法、高精度求余和快速幂，这几个算法也挺容易理解的。

费马小定理

费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

注意：可以用费马小定理判断素数，但有一定概率是错误的。费马小定理只是素数的必要条件，不是充分条件，即：满足费马小定理的数不一定是素数。
虽然有一定的概率出错，但效率高，而且也可以通过使用随机数生成a 或者增加验证费马小定理的次数来减小出错率。