线性代数---第三章向量

最新推荐文章于 2024-07-17 21:14:01 发布

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#线性代数 #算法 #机器学习

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本文详细探讨了线性代数中关于向量和矩阵秩的概念，包括线性表出、线性相关与无关的判断、矩阵秩的计算以及行列式的性质。重点讲解了如何通过化简为阶梯型矩阵来确定极大线性无关组，并讨论了矩阵乘积秩的性质和施密特正交化等核心概念。

1方程组有解就是可以线性表出，方程组无解就是不能线性表出

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2有时方程组就是无法化简到左侧只有一个系数，这时候就要讨论内部参数了

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3线性相关就是有非零解，就是r（A）<n，就是行列式等于0

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4原来秩r（A）<n中的n指的是系数最大值，r（A）指的则是有多大的n阶方阵。比如这个2，有3个系数，所以n是3，但是只有两行三列，所以r（A）是2，2<3，所以是线性相关

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5原来r（A）小于n中的n指的是n个向量，比如本题中，n就等于3，而不是4

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6原来两个向量相乘所得到的行列式是可以拆开的

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7原本的n维向量线性无关，加了一个列向量后线性相关，则这个加进来的列向量可由原来的n维向量线性表出且表示法唯一

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8向量组a1a2……as线性相关的充分必要条件是存在一个ai可有其他的向量线性表出

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9线性无关意味着一系列的系数k都是0

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10矩阵求秩较为简单，向量组求秩较为复杂

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11转化为阶梯型后每行第一个非零数所在的列组合成极大线性无关组

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12原来向量组的秩是3，加了一个向量后向量组的秩还是3，这说明r（A）=n线性无关，r（A）<n线性相关

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13矩阵的初等变换并不改变矩阵的秩

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14分块矩阵的秩等于两块矩阵秩之和

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15若A是mn矩阵，B是ns矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）<=n

此处如果A和B都是n阶矩阵也是满足条件的

16内积是满足交换律的

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17施密特正交化

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