线性代数---第三章向量

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原创 最新推荐文章于 2026-06-10 13:48:35 发布 5.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›
【线性代数】【笔记】【@汤家凤】【数一】【第三章 向量】 《线性代数》 第三章 向量 阅读详情

1方程组有解就是可以线性表出，方程组无解就是不能线性表出

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2有时方程组就是无法化简到左侧只有一个系数，这时候就要讨论内部参数了

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3线性相关就是有非零解，就是r（A）<n，就是行列式等于0

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4原来秩r（A）<n中的n指的是系数最大值，r（A）指的则是有多大的n阶方阵。比如这个2，有3个系数，所以n是3，但是只有两行三列，所以r（A）是2，2<3，所以是线性相关

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5原来r（A）小于n中的n指的是n个向量，比如本题中，n就等于3，而不是4

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6原来两个向量相乘所得到的行列式是可以拆开的

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7原本的n维向量线性无关，加了一个列向量后线性相关，则这个加进来的列向量可由原来的n维向量线性表出且表示法唯一

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8向量组a1a2……as线性相关的充分必要条件是存在一个ai可有其他的向量线性表出

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9线性无关意味着一系列的系数k都是0

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10矩阵求秩较为简单，向量组求秩较为复杂

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11转化为阶梯型后每行第一个非零数所在的列组合成极大线性无关组

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12原来向量组的秩是3，加了一个向量后向量组的秩还是3，这说明r（A）=n线性无关，r（A）<n线性相关

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13矩阵的初等变换并不改变矩阵的秩

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14分块矩阵的秩等于两块矩阵秩之和

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15若A是mn矩阵，B是ns矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）<=n

此处如果A和B都是n阶矩阵也是满足条件的

16内积是满足交换律的

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17施密特正交化

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线性代数 第三章 向量

向量组等价，向量组的秩相等（反过来不成立，秩相等向量组未必等价）。经过初等变换向量组的秩不变。多数向量能用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关。的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为这个向量组的。是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）。如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个。（小向量组是大向量组的极大线性无关组）线性相关的充分必要条件是行列式。线性表出（k不要求不全为0）线性相关，再加进任何一个向量。概念：若存在不全为0的。线性相关，则称向量组。

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