机器学习--逻辑回归

逻辑回归基本概念

1. 逻辑回归概念

逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏。

Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别）

回归模型中，y是一个定性变量，比如y=0或1，logistic方法主要应用于研究某些事件发生的概率。

2.逻辑回归的优缺点

优点：
1）速度快，适合二分类问题
2）简单易于理解，直接看到各个特征的权重
3）能容易地更新模型吸收新的数据
缺点：
对数据和场景的适应能力有局限性，不如决策树算法适应性那么强

- 逻辑回归和多重线性回归的区别

Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于它们的因变量不同，其他的基本都差不多。正是因为如此，这两种回归可以归于同一个家族，即广义线性模型（generalizedlinear model）。
这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。

• 如果是连续的，就是多重线性回归
• 如果是二项分布，就是Logistic回归
• 如果是Poisson分布，就是Poisson回归
• 如果是负二项分布，就是负二项回归

- 逻辑回归用途

• 寻找危险因素：寻找某一疾病的危险因素等；
• 预测：根据模型，预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大；
• 判别：实际上跟预测有些类似，也是根据模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。

- Regression 常规步骤

• 寻找h函数（即预测函数）
• 构造J函数（损失函数）
• 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）

6. 构造预测函数$h_{(x)}$

1) Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
对于线性边界的情况，边界形式如下：
$$z=\theta^Tx=\theta_0x_0+\theta_1x_1+\dots+\theta_nx_n=\sum_{i=0}^n\theta_ix_i$$
其中，训练数据为向量
$$x=[x_0,x_1,\dots,x_n]^T$$
最佳参数
$$\theta=[\theta_0,\theta_1,\dots,\theta_n]^T$$
构造预测函数为：
$$h_\theta(x)=g(\theta^Tx)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$$
函数$h(x)$的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：
$P(y=1│x;θ)=h_θ (x)$
$P(y=0│x;θ)=1-h_θ (x)$

7.构造损失函数J（m个样本，每个样本具有n个特征）

Cost函数和J函数如下，它们是基于最大似然估计推导得到的。

$$Cost(h_\theta(x),y)=\left\{\begin{matrix} -log(h_\theta(x)) & if\ y=1\\ -log(1-h_\theta(x)) & if\ y=0 \end{matrix}\right.$$
$$J(\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Cost(h_\theta(x),y)=-\frac{1}{m} \left [ \sum_{i=1}^m(y_i\log h_\theta(x_i)+(1-y_i)\log(1-h_\theta(x_i))) \right ]$$

8.损失函数详细推导过程

• 求代价函数:

$P(y|x;\theta)=(h_\theta(x))^y(1-h_\theta(x))^{1-y}$
对应的似然函数为：

$$L(\theta)=\prod_{i=1}^mP(y_i|x_i;\theta)=\prod_{i=1}^m(h_\theta(x_i))^{y_i}(1-h_\theta(x_i))^{1-y_i}$$
对数似然函数为：
$$l(\theta)=\log L(\theta)=\sum_{i=1}^m(y_i\log h_\theta(x_i)+(1-y_i)\log (1-h_\theta(x_i)))$$
最大似然估计就是求使l(θ)取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。

在Andrew Ng的课程中将J(θ)取为下式，即:$J(\theta)=-\frac{1}{m}l(\theta)$

• 梯度下降法求解最小值，对应的梯度为：
  $$\begin{equation*} \begin{split} \frac{\partial}{\partial\theta_i}J(\theta)=&-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i\frac{1}{h_\theta(x_i)}\frac{\partial}{\partial\theta_i}h_\theta(x_i)-(1-y_i)\frac{1}{1-h_\theta(x_i)}\frac{\partial}{\partial\theta_i}h_\theta(x_i)h_\theta(x_i)\\ =&-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i\frac{1}{g(\theta^Tx_i)}-(1-y_i)\frac{1}{1-g(\theta^Tx_i)})\frac{\partial}{\partial\theta_i}g(\theta^Tx_i)\\ =&-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i\frac{1}{g(\theta^Tx_i)}-(1-y_i)\frac{1}{1-g(\theta^Tx_i)})g(\theta^Tx_i)(1-g(\theta^Tx_i))\frac{\partial}{\partial\theta_i}\theta^Tx_i\\ =&-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i(1-g(\theta^Tx_i))-(1-y_i)g(\theta^Tx_i))x_i^j\\ =&-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-g(\theta^Tx_i))x_i^j\\ =&\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j\\ \end{split} \end{equation*}$$
  θ更新过程可以写成：
  $\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j$

9.正则化

（1） 过拟合问题
过拟合即是过分拟合了训练数据，使得模型的复杂度提高，繁华能力较差（对未知数据的预测能力）
2）过拟合主要原因
过拟合问题往往源自过多的特征
解决方法
1）减少特征数量（减少特征会失去一些信息，即使特征选的很好）
- 可用人工选择要保留的特征；
- 模型选择算法
2）正则化（特征较多时比较有效）
- 保留所有特征，但降低参数$\theta$的值的影响
（3）正则化方法
正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化项就越大。
正则项可以取不同的形式，在回归问题中取平方损失，就是参数的L2范数，也可以取L1范数。取平方损失时，模型的损失函数变为：

$$J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x_i)-y_i)^2+\lambda\sum_{j=1}^m\theta_j^2$$
ambda是正则项系数：
- 如果它的值很大，说明对模型的复杂度惩罚大，对拟合数据的损失惩罚小，这样它就不会过分拟合数据，在训练数据上的偏差较大，在未知数据上的方差较小，但是可能出现欠拟合的现象；
- 如果它的值很小，说明比较注重对训练数据的拟合，在训练数据上的偏差会小，但是可能会导致过拟合。
正则化后的梯度下降算法θ的更新变为:
$\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j-\frac{\lambda}{m}\theta_j$

Python实现逻辑回归

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
Model = LogisticRegression()
Model.fit(X_train, y_train)
Model.score(X_train,y_train)
# Equation coefficient and Intercept
Print(‘Coefficient’,model.coef_)
Print(‘Intercept’,model.intercept_)
# Predict Output
Predicted = Model.predict(x_test)