7、多元离散随机变量的深入剖析

多元离散随机变量的深入剖析

1. 引言

在许多实际场景中，我们往往需要测量随机现象结果的多个属性，而非单一属性。以从大学生群体中随机挑选一名学生为例，为评估该学生的健康状况，我们可能需要了解其身高、体重、血压、脉搏率等多个指标。这些测量值对于医生进行疾病风险评估至关重要。

为了描述这些多个属性，我们引入了多元随机变量的概念。例如，对于学生的身高和体重，我们可以将其表示为一个二维随机向量。假设样本空间为所有大学生，通过映射函数 (H(S_i) = h_i) 和 (W(S_i) = w_i)，可以将每个学生的样本点 (S_i) 映射到对应的身高 (h_i) 和体重 (w_i)。

在之前的讨论中，我们已经了解了单个离散随机变量的概率质量函数（PMF）。现在，我们将把这些概念扩展到多个离散随机变量的情况。多个随机变量之间的依赖关系是一个新的且非常重要的概念，例如，我们能否根据一个人的体重来预测其身高？这将是我们在后续讨论中需要解决的问题。

2. 联合分布的随机变量

我们考虑两个离散随机变量 (X) 和 (Y)，它们将实验结果 (S_i) 映射到平面上的值。例如，同时抛掷一枚便士和一枚镍币的实验，样本空间 (S) 中的结果可以用 (TH) 表示便士为反面、镍币为正面。通过映射函数 (X(S_i)) 和 (Y(S_i))，可以将每个结果映射到平面上的一个点。

两个定义在相同样本空间 (S) 上的随机变量 (X) 和 (Y) 被称为联合分布的随机变量。它们的可能取值构成了样本空间 (S_{X,Y})，这是平面的一个子集。如果 (X) 可以取 (N_x) 个值，(Y) 可以取 (N_y) 个值，那么样本空间 (S_{X,Y}) 的大