41、递归程序验证中的反链方法

递归程序验证中的反链方法

1. 引言

在递归程序的验证领域，有许多关键问题需要解决，如上下文无关文法（CFG）与右线性文法（REG）的包含关系验证。本文将介绍相关的技术概念，包括正则包含、反链算法和数据流分析，并提出一种高效的算法来解决这些问题。同时，还会将验证方法推广到多线程递归程序的有界上下文切换场景。

2. 预备知识

2.1 CFG - REG

• 基本定义
  • 给定有限字母表 $\Sigma$，$\Sigma^ $ 表示 $\Sigma$ 上所有有限单词的集合，$\epsilon$ 表示空单词。单词 $u, v \in \Sigma^ $ 的连接得到 $u \cdot v \in \Sigma^ $，$u$ 和 $v$ 的洗牌是这两个单词的所有交织集合，例如 $ab \sqcup\sqcup c = {cab, acb, abc} \subseteq \Sigma^ $。
  • 上下文无关文法 $G = (\Sigma, X, x_0, R)$，其中 $\Sigma$ 是有限字母表，$X$ 是有限非终结符集合，$x_0 \in X$ 是初始符号，$R \subseteq X \times (\Sigma \cup X)^*$ 是产生式规则集合。
  • 右线性文法是指 $R \subseteq X \times ({\epsilon} \cup (\Sigma \cdot X))$ 的上下文无关文法，它对应于有限自动机，非终结符是状态，$x_0$ 是初始状态，$(x, \epsilon