23、密码学中的哈希函数与相关算法解析

密码学中的哈希函数与相关算法解析

1. 布尔函数与椭圆曲线相关基础

在密码学的基础理论中，布尔函数有着重要的地位。每一个布尔函数 (f : F_{2^n} \to F_2) 都有迹表示 (f = tr \circ h)，其中 (h: F_{2^n} \to F_{2^n})。线性映射 (tr: F_{2^n} \to F_2) 最多有 (deg tr = 2^{n - 1}) 个根，因此存在 (w \in F_{2^n}) 使得 (tr(w) \neq 0)。从 (F = F_{2^n}) 到其对偶向量空间 (F^ = {g : F \to F_2 线性}) 的映射 (c \to \mu_c) 是 (F_2) - 线性的，并且当 (c \neq 0) 时，(\mu_c \neq 0)，因为 (\mu_c(wc^{-1}) = tr(w) \neq 0)。由于 (dim F = dim F^ )，所以这个映射是同构的。

希尔伯特定理 90 在 (F_2) 上有一个简短的证明。在 (tr(b^2 + b)) 的表达式中，第 (i) 个求和项是 ((b^2 + b)^{2^i} = b^{2^i} + b^{2^{i + 1}})，第二项与第 ((i + 1)) 个求和项的第一项相消。根据费马小定理，(tr(b^2 + b) = b + b^{2^n} = 0)，所以 (im(b \to b^2 + b) \subseteq ker tr)。线性映射 (b \to b^2 + b) 的核是 (F_2)，其像等于 (ker tr)。

2. 密码算法练习

2.1 AES 解密结构

• (Bab