4、三维有限元方法

三维有限元方法

摘要

在本章中，我们将讨论三维情况下材料的数学模型。一维情况下的控制方程被推广并进行了修改，以适应三维情况。许多在一维情况下是标量的量现在被安排为向量量。这不仅增加了模型的复杂性，也提升了其适用性和精确性。我们将详细介绍三维有限元方法中的应力张量、应变张量、屈服条件、流动规则和硬化函数的数学模型及其实现方法。此外，还会提供具体的Fortran代码示例，以帮助读者理解和应用这些理论。

1 三维有限元理论

1.1 应力张量

在三维空间中，任意应力σ可以分解为应力分量σij。这些应力分量被排列在Cauchy应力张量中，具体如下：

[
\sigma_{ij} = \begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}
]

应力张量的各个分量作用在具有法向坐标向量ei（i=1,2,3）的平面上，方向为ej（j=1,2,3）。由于材料被假设为各向同性，张量σij是对称的，因此在有限元方法中，它通常被保存为一个包含六个独立应力分量的列矩阵（或向量）：

[
\sigma = \begin{bmatrix}
\sigma_{11} \ \sigma_{22} \ \sigma_{33} \ \sigma_{12} \ \s