溢出与概率——斐波那契（不用大数的做法）

题目来源 https://www.nowcoder.net/acm/contest/71#question  C题

此题唯一特色就是数特别大,斐波那契数列的第十万项的值超过longlong可存储的最大范围.

用字符串读取.转为数字发生溢出，高位上的数自动被去除，无法读到完整数，读到的是f（一个不完整的最多20位的longlong形整数）。

 然后从斐波那契第一项开始计算第二项，第三项……第i项（第i项同样溢出，一个不完整的最多20位的longlong型整数），每次把第i项这个溢出数和f这个溢出数进行比较，它们由于都是20位左右的数，比如正常不溢出f=1234，溢出后为234；比如正常不溢出，第i项算出来是1234，溢出会去除高项，变为234；而11234，溢出同样变为234，那么为什么f和第i项（实际上溢出了）相等，就能确定原本的f和第i项（不溢出的原本状态）相等呢？这是因为，f和第i项都是longlong型整数，它们最多可达20位，即使溢出，只要后20位相等，那么原本不溢出的数不相等的概率是很低的。

 这是为什么呢？因为不是所有数都可以成为斐波那契数，斐波那契数的取得尤其特殊的取得方式（是前两项相加不断推出来的），现在某个大数，问他是斐波那契数的第几项，而通过计算到第i项，我们发现第i项这个大数（溢出被削为20位）和输入的那个大数是相等的（20位嘛），如果这样两个数都不等，也就意味着斐波那契还存在某个更大的数，它的后20位和这个输入的大数的后二十位一样，然而斐波那契函数有奇特的构造方式，那么产生这样的更大的数的概率就更低了。几乎可以忽略这种可能性。

#include <stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 100001
char s[maxn];
unsigned long long fn = 0;
unsigned long long f1 = 1;
unsigned long long f2 = 2;
unsigned long long f = 0;

int main()
{
    while(scanf("%s",s)!=EOF)
    {
        int i;
        fn = 0;
        f1 = 1;
        f2 = 2;

        for(i = 0; s[i]!='\0'; i++)
            fn = fn*10 + s[i]-'0';//把字符串转化为数字，过程中发生溢出
        if(fn==1)
            printf("1\n");
        else if(fn==2)
            printf("2\n");
        else
        {
            for(i = 3; i < maxn; i++)//从斐波那切的第一位开始往后算，i就是所求的项数。
            {
                f = f1+f2;
                f1 = f2;
                f2 = f;//f在计算过程中发生溢出
                if(f==fn)//f和fn（字符串转为数字的那个数），两者都发生了溢出，但竟然可以比较是否相等，原因如最上方
                break;
            }
            printf("%d\n",i);
        }
 }
 return 0;
}