视觉SLAM十四讲-第十讲笔记

本文深入探讨视觉SLAM的后端优化,包括基于EKF的滤波方法和稀疏性。介绍了后端优化的作用、卡尔曼滤波器的原理,如线性高斯系统、扩展卡尔曼滤波器及其局限性。此外,还讲解了BA(Bundle Adjustment)与图优化,强调了稀疏性在优化过程中的重要性,并探讨了边缘化方法。

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本讲开始进入后端模块。后端优化目前分为基于滤波器的方法和基于非线性优化的方法,本讲讲述以EKF为代表的滤波器法,以及稀疏性。

一、 后端优化概述

1. 后端模块的作用

前端估计得到:

  • kkk时刻相机的位姿,xkx_kxk
  • 地图中路标jjj的世界坐标,yjy_jyj

前端估计只基于kkk的前一时刻或前几时刻。后端优化所做的,则是根据到目前为止观测到的所有信息,优化之前的估计结果。
后端优化中,把位姿xxx和路标yyy都看做服从某种概率分布的随机变量。已知相机运动数据uuu,观测数据zzz,问题转化为确定其概率分布,进行最大似然估计。

后端优化主要有两种方法:

  1. 假设马尔科夫性,kkk时刻状态只与k−1k-1k1时刻有关。即本讲的EKF法。
  2. 假设kkk时刻状态与之前所有状态有关,为基于非线性优化的方法。将在下一讲详细阐释。

2. 问题描述

变量:
xkx_kxkkkk时刻下所有未知量,包含相机和此时刻m个可见路标。
已知:
u1:ku_{1:k}u1:k:前kkk帧的运动数据。
z1:kz_{1:k}z1:k:前kkk帧的观测数据。
估计:
P(xk∣x0,u1:k,z1:k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k})P(xkx0,u1:k,z1:k):根据所有已知,估计现在的位姿和路标的状态分布。

根据贝叶斯法则:
P(xk∣x0,u1:k,z1:k)∝P(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k})∝P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})P(xkx0,u1:k,z1:k)P(zkxk)P(xkx0,u1:k,z1:k1)
即:后验正比于似然乘先验。
其中,先验指前k−1k-1k1帧的观测。根据马尔科夫假设,对先验展开得:
P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)=∫P(xk∣xk−1,x0,u1:k,z1:k−1)P(xk−1∣x0,u1:k,z1:k−1)dxk−1P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=\int P(x_k|x_{k-1},x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})P(x_{k-1}|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})dx_{k-1}P(xkx0,u1:k,z1:k1)=P(xkxk1,x0,u1:k,z1:k1)P(xk1x0,u1:k,z1:k1)dxk1
即:xkx_kxkxk−1x_{k-1}xk1影响,考虑所有k−1k-1k1时刻的xxx可能,对每一种可能,其概率是xk−1x_{k-1}xk1xkx_{k}xk的概率,乘以xk−1x_{k-1}xk1的概率。
问题的最终目标是:求状态变量的最大后验概率形式。

二、 卡尔曼滤波器

1. 线性系统和卡尔曼滤波器(KF)

根据马尔科夫性,当前时刻状态只和上一时刻有关。我们来化简先验概率部分,把这个公式挪下来:
P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)=∫P(xk∣xk−1,x0,u1:k,z1:k−1)P(xk−1∣x0,u1:k,z1:k−1)dxk−1P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=\int P(x_k|x_{k-1},x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})P(x_{k-1}|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})dx_{k-1}P(xkx0,u1:k,z1:k1)=P(xkxk1,x0,u1:k,z1:k1)P(xk1x0,u1:k,z1:k1)dxk1
等式右边第一项可以化简为:
P(xk∣xk−1,x0,u1:k,z1:k−1)=P(xk∣xk−1,uk)P(x_k|x_{k-1},x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=P(x_k|x_{k-1},u_{k})P(xkxk1,x0,u1:k,z1:k1)=

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